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1、44最大公因式最大公因式最大公因式最大公因式55因式分解因式分解因式分解因式分解66重因式重因式重因式重因式1010多元多项式多元多项式多元多项式多元多项式1111对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式33整除的概念整除的概念整除的概念整除的概念22一元多项式一元多项式一元多项式一元多项式11数域数域数域数域77多项式函数多项式函数多项式函数多项式函数99有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式88复、实系数多项式复、实系数多项式复、实系数多项式复、实系数多项式 的因式分解的因式分解的因式分解的因式分解第一章第一章 多项式多项式一、不可约多项式一、不可约多项式二、因式分解及唯
2、一性定理二、因式分解及唯一性定理 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解与多项式系数所在数域有关因式分解与多项式系数所在数域有关如：如：（在有理数域上）（在有理数域上）问题的引入问题的引入（在实数域上）（在实数域上）（在复数域上）（在复数域上） 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理设设，且，且，若，若不能表示成数域不能表示成数域P上两个次数比上两个次数比低的多项式的低的多项式的 定义：定义：乘积，则称乘积，则称为数域为数域P上的上的不可约多项式不可约多项式.说明：说明：一个多项式是否不可约依赖于系数域一个多项式是否不可约依赖于系数域.
3、一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式一、不可约多项式 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理多项式多项式不可约不可约的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或或 多项式多项式不可约，对有不可约，对有证：设证：设则则 或或即即或或 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理不可约不可约.，若，若 则则或或 证：若证：若结论成立结论成立.若若不整除不整除，则，则 定理定理5：不可约，不可约， 则必有某个使得则必有某个使得 推论：推论： 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解
4、定理因式分解定理若若，则，则可可唯一地分解成数域唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式所谓唯一性是说，若有两个分解式 1. 定理：定理：则则，且适当排列因式的次序后，有，且适当排列因式的次序后，有 其中其中是一些非零常数是一些非零常数 二、因式分解及唯一性定理二、因式分解及唯一性定理 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理证：对证：对的次数作数学归纳的次数作数学归纳. 时，结论成立时，结论成立下证下证的情形的情形.设对次数低于设对次数低于n的多项式结论成立的多项式结论成立（一次多项式都不可约）（一次多项式都不
5、可约） 若若是不可约多项式是不可约多项式. 若若不是不可约多项式，则存在不是不可约多项式，则存在 且且使使 结论显然成立结论显然成立由归纳假设由归纳假设皆可分解成不可约多项式的积皆可分解成不可约多项式的积. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理再证唯一性再证唯一性 .可分解为一些不可约多项式的积可分解为一些不可约多项式的积.都是不可约都是不可约设设有两个分解式有两个分解式多项式多项式.对对作归纳法作归纳法 若若则必有则必有 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理假设不可约多项式个数为假设不可约多项式个数为时唯一性已证时唯一性已证. 由由()不妨
6、设不妨设则则 使得使得 (1)两边消去两边消去由归纳假设有由归纳假设有 即得即得 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理总可表成总可表成 对对其中为其中为的首项系数，的首项系数，为互不相同的，为互不相同的， 首项系数为首项系数为1的不可约多项式，的不可约多项式，的的标准分解式标准分解式.称之为称之为2. 标准分解式：标准分解式： 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理说明说明 若已知两个多项式若已知两个多项式 的标准分解式的标准分解式, ,则可直接写出则可直接写出就是那些同时在就是那些同时在 的标准的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带
7、分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数方幂指数等于它在中所带的方幂指数中较小的一个中较小的一个 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理例如，若的标准分解式分别为例如，若的标准分解式分别为则有则有 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项的方法是不
8、存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的式的可约性的判定都是非常复杂的 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理一、一、k 重因式重因式二、重因式的判别和求法二、重因式的判别和求法 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理一、一、k重因式重因式设设为数域为数域P的不可约多项式，的不可约多项式， 则称则称为为的的重因式重因式.若若1,则称则称为为的的重因式重因式.（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) 若若 ，但但定义定义若若1,则称则称为为的的单因式单因式. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理
9、1.若若的标准分解式为：的标准分解式为： 则则为为的的重因式重因式 . .时，时，为单因式为单因式;时时, 为重因式为重因式.二、重因式的判别和求法二、重因式的判别和求法 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理2.定理定理6若不可约多项式若不可约多项式是是的的重因式重因式证证:假设假设 可分解为可分解为其中其中则它是则它是的微商的微商的的重因式重因式. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理令令是是的的重因式重因式且且,为为的的重因式，但未必是重因式，但未必是的的 重因式重因式. . 注意注意定理定理6 6的逆命题不成立的逆命题不成立，即即 1.
10、51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理推论推论1若不可约多项式若不可约多项式是是 的的重因式重因式则则是是的因式的因式，但不是但不是 的因式的因式.推论推论2不可约多项式不可约多项式 是是的重因式的重因式是是与与的公因式的公因式. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理推论推论3推论推论4多项式多项式没有重因式没有重因式，若若 其中其中为不可约多项式，为不可约多项式，则则为为 的的重因式重因式. . 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理根据推论根据推论3、4可用辗转相除法可用辗转相除法，求出求出说明说明来判别来判别是否有重因
11、式若有重因式是否有重因式若有重因式，还可由还可由的结果写出来的结果写出来.例例1.判别多项式判别多项式有无重因式有无重因式. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理推论推论5注注: :不可约多项式不可约多项式 为为 的的重因式重因式为为的的重因式重因式. .与与有完全相同的不可约因式，有完全相同的不可约因式， 且且的因式皆为单因式的因式皆为单因式. 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理一、多项式函数与根一、多项式函数与根二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理一、多项式函数
12、与根一、多项式函数与根1. 多项式函数多项式函数设设数数 将的表示式里的用代替，得到将的表示式里的用代替，得到P中的数中的数称为当时称为当时的的值值，记作，记作这样，对这样，对P中的每一个数，由多项式中的每一个数，由多项式确定确定P中唯一的一个数中唯一的一个数与之对应，于是称与之对应，于是称为为P上上的一个的一个多项式函数多项式函数 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理若多项式函数若多项式函数在在处的值为处的值为0，即，即 则称则称为为的一个的一个根根或或零点零点 2.多项式函数的根多项式函数的根(或零点或零点)易知，若易知，若则，则， 1.51.5 因式分解定理因式
13、分解定理因式分解定理因式分解定理（余数定理余数定理）：用一次多项式）：用一次多项式去除多项式去除多项式 所得余式是一个常数，这个常数等于函数所得余式是一个常数，这个常数等于函数值值 二、多项式函数的有关性质二、多项式函数的有关性质1.定理定理7是是的根的根 推论推论: 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理 例例1求求在在处的函数值处的函数值.法一：法一：把把代入代入求求 用用去除去除所得余数就是所得余数就是 法二：法二：答案：答案： 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理若若是是的的重因式，重因式，则称则称为为 的的重根重根.当当时，称时，称为
14、为的单根的单根 当当时，称时，称为为的重根的重根 2.多项式函数的多项式函数的k重根重根定义定义 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理注：注： 是是的重根的重根是是的重因式的重因式 有重根有重根必有重因式必有重因式反之不然，即反之不然，即有重因式未必有重因式未必有重根有重根例如，例如，为为的重因式，但在的重因式，但在R上上没有根没有根 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理3.定理定理8(根的个数定理根的个数定理)任一任一中的中的次多项式次多项式在在中的根中的根 不可能多于不可能多于个，重根按重数计算个，重根按重数计算 4.定理定理9且且 若有
15、若有使使 则则 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理证：设证：设 若若即即时，由因式分解及唯一性定理，时，由因式分解及唯一性定理，可可分解成不可约多项式的乘积，分解成不可约多项式的乘积，由推论，由推论，的根的的根的个数等于个数等于分解式中分解式中一次因式的个数，重根按重一次因式的个数，重根按重数计算，且此数数计算，且此数 此时对此时对有有即即有有0个根个根.定理定理8 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理证：令证：令则有则有 由定理，若由定理，若的话，则的话，则矛盾矛盾所以，所以，即即有有 个根，个根，即即定理定理9 1.51.5 因式分解定
16、理因式分解定理因式分解定理因式分解定理解：解：例例2求求t值，使值，使有重根有重根 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理若若即即则则此时，有重根，此时，有重根，为为的三重根的三重根若若即即则则此时，有重根，此时，有重根，为为的二重根的二重根 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理例例3举例说明下面命题是不对的举例说明下面命题是不对的 解：令解：令则则但但 是是的的2重根，重根， 不是不是的根，从而不是的根，从而不是的的3重根重根 1.51.5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理例例4若若求求 解：解：从而，从而，1为为的根的根于是有，于是有， 1为为 的重根，的重根，
