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1、1求轨迹方程的十种技法求轨迹方程的十种技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学 生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆 的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时 教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思 路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1 直接法直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式 等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例例 1 已知动点 M
2、到定点 A（1，0）与到定直线 L：x=3 的距离之和等于 4，求动点 M 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？解解设 M（x,y）是轨迹上任意一点，作 MNL 于 N，由 MAMN4，得 4|3|22) 1(xyx当 x3 时上式化简为 y2=12(x-4) 当 x3 时上式化简为 y2=4x 所以点 M 的轨迹方程为 y2=12(x-4) (3x4) 和 y2=4x (0x3). 其轨迹是两条抛物线弧。 2 定义法定义法圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接 写出其轨迹方程。例例 2 在相距离 1400 米的 A、B 两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时
3、间相差 3 秒，已知声 速是 340 米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？解解 因为炮弹爆炸点到 A、B 两哨所的距离差为 3340=1020 米，若以 A、B 两点所在直 线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知炮弹爆炸点在双曲线 上125102700225102 yx3 转移法转移法若轨迹点 P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点 Q（x0, y0） ，则可先列出关于 x、y, x0、y0的方程组，利用 x、y 表示出 x0、y0，把 x0、y0 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹 方程。例例 3 已知 P 是以 F1、F2为焦点的双曲线上的动点，求 F
4、1F2P 的重心 G 的轨迹192162 yx方程。解解 设 重心 G（x, y）, 点 P（x0, y0） ， 因为 F1（-4，0） ，F2（4，0） 则有 , ， 故代入 30003044yyxx yyxx 3030192 0 162 0yx得所求轨迹方程 （y0）12 1629 yxOYxNMA24 点差法点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A（x1,y1） ， B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦 AB 的中点 P（x, y）的坐标满足 2x=
5、 x1+x2, 2y= y1+y2且直线 AB 的斜率为，由此可求得弦 AB 的中点的轨迹方程。 1212 xxyy 例例 4 已知以 P（2，2）为圆心的圆与椭圆 x2+2y2=m 交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 解解 设 M（x, y） ，A（x1, y1） ，B（x2, y2）则 x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由， myx2 122 1myx2 222 2两式相减并同除以（x1-x2）得, 而 kAB= yx yyxx xxyy 212121 2121212121 xxyy kPM=, 又因为 PMAB 所以 kABkPM=122 xy故 化简得点
6、 M 的轨迹方程 xy +2x- 4y=0122 21xy yx5 几何法几何法运用平面几何的知识如平几中的 5 个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨 迹形成的条件，求得轨迹方程。例例 5 如图，给出定点 A（a,0）(a0)和直线 L：x=1, B 是直线 L 上的动点，BOA 的平 分线交 AB 于点 C，求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系。 解解 设 B（-1，b） ，则直线 OA 和 OB 的方程 分别为 y=0 和 y=bx , 设 C（x,y） ，由点 C 到OA，OB 的距离相等，得|y|= 21 bybx又点 C 在直线 AB 上，故有 y
7、=)(1axab由 x-a0 得 b= 代入 化简整理得 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0axya )1 (若 y0, 则 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (00)上原点 O 以外的两个动点, 且 OAOB,过 O 作 OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程.解解 1 (常规设参)设 M(x,y)，A(x1,y1), B(x2,y2),则（） xpyyypyyxy xxyyxy xypxypxy4 21216211 21211 22 11242 2142 1由 A,M B 共线得 则)421( 214 1pyxyypyy 2121 214 yyyyxyypy把（）代入
8、上式得化简得 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x0)ypx yxy42 解解 2 (变换方向) 设 OA 的方程为 y=kx (k0) 则 OB 的方程为xky1由 得 A() ， 由 得 B (2pk2,-2pk) pxykxy22kpkp2,22pxyxky221MOAB4所以直线 AB 的方程为 )2(21px kky 因为 OMAB,所以直线 OM 的方程为 xkky21即得 M 的轨迹方程: x2+y2-2px=0(x0) 解解 3 (转换观点) 视点 M 为定点,令 M( x0,y0), 由 OMAB 可得直线 AB 的方程为, 与抛物线 y2=4px 联立消去 y 得,
9、设 A(x1,y1), )0( 000xxyxyy0)2 02 0( 040042yxxpyxpyyB(x2,y2) 则)2 02 0( 04 21yxxpyy又因为 OAOB 所以 故=即 所以 M 点21621pyy)2 02 0( 04yxxp216p0042 02 0pxyx的轨迹方程为 )0(0422xpxyx8 韦达定理法韦达定理法 有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一 个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程 例例 8 过抛物线 y=x2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦 OA,OB, 若分别以 OA,
10、OB 为直径 作圆, 求两圆的另一交点 C 的轨迹方程解解：设 A,B 两点的坐标分别为 (), () , 则由 OAOB 得 t1t2=12 1,1tt2 2,2tt因为以 OA 为直径的圆方程为 02 11221 12 1 ytxtyxxy txty同理以 OB 为直径的圆方程为 02 2222ytxtyx而点 C(x,y)满足 ,由知 t1,t2是关于 t 的二次方程 yt2 + xt- x2- y2= 0 的两根,根据t1t2=1 及韦达定理得 , 即有 x2 + y2 - y =0(y0)yyxtt22 211这就是 C 点的轨迹方程. 9 复数法复数法将直角坐标平面看成复平面,利用
11、复数的几何意义求解动点轨迹方程. 例例 9 边长为 m 的正三角形 ABC 的两顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴上滑动, A .B .C 三点按顺时 针顺序排列，求点 C 的轨迹方程. 解解: 视 xoy 为复平面,设 C(x,y), A(a,0) , B(0,b)则向量表示的复数为 x+yi,向量表示的复数为 a,向量表示复数 a+bi,把向量按顺 OC OA AB AB时针方向旋转就得到向量,所以向量表示的复数为,由3 AC AC)3sin3)(cos(ibia得 ACOAOC)3sin3)(cos(ibiaayix由复数相等的条件得 yxbxyaabybax3323 223 2而 a
12、2+b2=m25所以点 C 的轨迹方程为42 322mxyyx10 极坐标法极坐标法某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系较为方便地 求得轨迹方程.例例 10 已知椭圆与直线 L: , 1162242 yx1812yxP 为直线 L 上的任一点,OP 交椭圆于点 R, Q 是 OP 上一点,且满足 |OP|OQ|=|OR|2 求动点 Q 的轨迹方程并指出轨迹的曲线. 解解 以原点为极点,ox 轴正方向为极轴建立极坐标系则椭圆的极坐标方程为,直线 L 的极坐标方程,则1162sin2242cos2 18sin 12cos, 2sin32cos24822| RORs
13、in3cos224|POP设点 Q(,), 由|OQ|OP|=|OR|2得 2sin32cos248 sin3cos224整理得 即 2x2+3y2=4x+6y(x,y 不同为 0)sin6cos42sin232cos22故 Q 点的轨迹方程为(x,y 不同为 0),其轨迹是去掉原点的一个椭圆.1352) 1(252) 1(yx求轨迹方程的一些常用方法求轨迹方程的一些常用方法徐国锋由运动轨迹求方程是解析几何的一类重要问题，也是各类考试中的常考题型，下面谈谈求轨迹方程的 几种常用方法。一、直接法一、直接法由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫 做
14、直接法。例例 1 已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。解：设点 P 的坐标为（x，y） ，则由题意可得。4|3x|y) 1x(22（1）当 x3 时，方程变为，化简得1xy) 1x(4x3y) 1x(2222，。)3x0(x4y2OLPRQ6（2）当 x3 时，方程变为，化简得x7y) 1x(43xy) 1x(2222，。)4x3)(4x(12y2故所求的点 P 的轨迹方程是或。)3x0(x4y2)4x3)(4x(12y2二、定义法二、定义法由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹 方程，这
15、种方法叫做定义法。例例 2 已知圆的圆心为 M1，圆的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外25y)4x(221y)4x(22切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：，。5R|PM|11R|PM|2。4|PM|PM|1|PM|5|PM|2121，动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为。)2x( 112y 4x22 三、待定系数法三、待定系数法由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数， 进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。例例 3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（，0） ，直线
