《元函数的连续性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《元函数的连续性（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 33 二元函数的连续性二元函数的连续性 (一) 教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质(二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性基本要求：(1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质(2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点(三) 教学建议：(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题一一 二元函数的连续概念二元函数的连续概念由
2、一元函数连续概念引入 .定义（用“”定义二元函数连续） 设函数为定义在点集上的),(yxf2RD 二元函数，（它或者是 D 的聚点，或者是 D 的孤立点） ，若对，DP 00,0使得当 时，都有 DPUPI );(0| )()(|0PfPf则称关于集合 D 在点连续，简称点连续。),(yxf0P0Pf 在若函数上任何点都连续，则称上的连续函数。Df 在Df 为由连续定义，若是 D 的孤立点，则必定是关于集合 D 的连续点；若0P0Pf0P是 D 的聚点，则关于集合 D 在连续等价于f0P)()(lim00PfPfDPPP如果是 D 的聚点，而上式不成立，则称关于集合 D 在不连续（或间断点）
3、。特0Pf0P别 时，称是的可去间断点。)()(lim00PfAPfDPPP0Pf例 )0, 0(),(,10,| ),(),(, ),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf其中 是固定实数。在直线上mmxy )0, 0(1),(lim2)0, 0(),(fmmyxf yx 因此在原点沿着任意直线 是连续的。fmxy 定义（全增量） 设 ，则称DyxPyxP),(,),(000),(),(00yxfyxfz为函数在点的全增量。f0P如果在全增量中取 ，则称相应的函数增量为偏增量。记作00或yx),(),(),(000000yxfyxxfyxfx),(),(),(000000yxfyyx
4、fyxfy定义（用增量定义连续性）. 设函数为定义在点集上的二元函数，),(yxf2RD 当 时，都有 DPUPI );(00lim 0(),( z yx则称在点连续。),(yxf0P例 . , 0, ,0 , 1),(2其他xxyyxf证明函数在点沿任何方向都连续, 但并不连续.),(yxf) 0 , 0 (证 当 时， 0k0| )0,(| )0 , 0(),(|xffkxxf时，取 时0k| , |xk0| )0 , 0(),(| fkxxf因此函数在点沿任何方向),(yxf) 0 , 0 (都连续。但显然函数在点),(yxf) 0 , 0 (极限不存在，所以不连续。f=0f=0ky=x
5、2y=kx二元连续与单元连续的关系: 二元连续则对任意单元连续，反之不然。比如函数 0. xy, 00xy, 1),(yxf在原点处显然不连续，但0)0 ,(), 0(xfyf因此在原点处对分别都连续。fyx,1.连续函数的性质: 和一元函数一样，二元函数也有下面性质：四则运算性质 （请仿照一元函数给出叙述）局部有界性局部保号性定理 16.7（复合函数连续性） 设函数和在平面上点),(yxu),(yxvxy的某邻域内有定义，并且在点连续；函数在平面上点),(000yxP),(000yxP),(vufuv的某邻域内有定义，并且在连续，其中，),(000vuQ),(000vuQ),(000yxu，
6、则复合函数在点连续。),(000yxv),(),(),(yxyxfyxg),(000yxP证明 由函数在连续，对任意，存在，当),(vuf),(000vuQ00，时，有|0uu|0vv| ),(),(|00vufvuf又由 在连续，对上述的 存在，当，,),(000yxP00|0xx时 |0yy| ),(),(|000yxyxuu| ),(),(|000yxyxvv综合上述两步，当 ， 时，有|0xx|0yy| ),(),(| ),(),(|0000vufvufyxgyxgz yyx1因此，复合函数在点连续。),(),(),(yxyxfyxg),(000yxP二二. . 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质: :有界性与最值性定理 16.8 若函数在有界闭区域上连续，则在 D 上有界，切能取f2RD f得最大、最小值。定理 16.9(一致连续性) 若函数在有界闭区域上连续，则在 Df2RD f上一致连续。定理 16.10(介值性) 设函数在区域上连续，若 为 D 中任意f2RD 21, PP两点，且，则对任何满足不等式)()(21PfPf)()(21PfPf的实数，必存在点，使得。DP 0)(0PfP1P2
