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1、第四节 函数单调性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些 方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导 数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.分布图示分布图示 单调性的判别法 例 1 单调区间的求法 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 曲线凹凸的概念 例 9 例 10 曲线的拐点及其求法 例 11 例 12 例 13 函数极值的定义 函数极值的求法 例 14 例 15 例 16第二充分条件下 例 17 例 18 例 19 内容小结 课堂练习 习题 3-4 返回内容要
2、点内容要点一、一、函数的单调性函数的单调性：设函数在a, b上连续, 在(a, b)内可导.)(xfy (1) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调增加;0)( xf)(xfy (2) 若在(a, b)内, 则函数在a, b上单调减少.0)( xf)(xfy 二、二、曲线的凹凸性曲线的凹凸性：设在a, b上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 则)(xf(1) 若在(a, b)内，则在a, b上的图形是凹的;, 0)( xf)(xf(2) 若在(a, b)内，则在a, b上的图形是凸的., 0)( xf)(xf三、三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点拐点 判定曲线的凹
3、凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1) 求函数的二阶导数；)(xf (2) 令，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；0)( xf(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧的符号，确定曲线的)(xf 凹凸区间和拐点. 四、函数的极值四、函数的极值 极值的概念；极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：（1） 确定函数的定义域，并求其导数;)(xf)(xf （2） 解方程求出的全部驻点与不可导点;0)( xf)(xf（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极)(xf 值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数
4、的全部极值.)(xf例题选讲例题选讲函数单调性的判断函数单调性的判断例例 1 (E01) 讨论函数的单调性.1xeyx解解 又 在内， 函数单调减少；Q. 1xey).,( :D)0 ,(, 0 y在内， 函数单调增加.), 0( , 0 y注注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不 能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.例例 2 (E02) 讨论函数的单调区间.32xy 解解 当时，导数不存在.Q).,( :D332xy ),0( x0x当时， 在上单调减少；0x, 0 y0 ,(当时， 在上单调增加； x0, 0 y, 0单调区间为，.0 ,(),
5、 0 注意注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是,3xy , 00xy上单调增加.),(注注：从上述两例可见，对函数单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或)(xfy 使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数 的导数在各子区间的符号，从而确定出函数在各子区间上的单调性，每个使)(xf )(xfy 得的符号保持不变的子区间都是函数的单调区间.)(xf )(xfy 求单调区间求单调区间例例 3 (E03) 确定函数的单调区间.31292)(23xxxxf解解 Q).,( :Dxxxxf12186)(2),2)(1(6xx解方程得0)( xf
6、. 2, 121xx当时， 在上单调增加；1x, 0)( xf)(xf1 ,当时， 上单调减少；21 x, 0)( xf)(xf 2 , 1当时， 在上单调增加； x2, 0)( xf)(xf), 2 单调区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 例例 4 求函数的单调区间.32)(2(xaaxy)0( a解解 y, )()2(32 3232xaaxxa令 解得 在 处不存在., 0 y,32 1ax ,22ax ax 3y在内，函数单调增加. 在内，函数单调增加. 2,a, 0 yaa 32,2, 0 y在内，函数单调减少. 在内，函数单调增加. aa,32, 0 y, a, 0 y例例 5
7、 当时， 试证成立.0x)1ln(xx证证 设则),1ln()(xxxf.1)(xxxf在上连续，且在内可导， 在上单调增加，Q)(xf, 0 ), 0( , 0)( xf)(xf, 0 当时，即证毕.Q, 0)0(f0x, 0)1ln(xx).1ln(xx应用单调性证明应用单调性证明例例 6 (E04) 试证明：当时, .0x2 21)1ln(xxx证证 作辅助函数 ,21)1ln()(2xxxxf因为在上连续，在内可导，且)(xf), 0 ), 0( xxxf111)(,12xx 当时，又 故当时，0x, 0)( xf. 0)0(f0x, 0)0()( fxf所以.21)1ln(2xxx例
8、例 7 (E05) 证明方程在区间内有且只有一个实根.015 xx)0 , 1(证证 令因在闭区间延续，且, 1)(5xxxf)(xf0 , 1) 1(f1, 0)0(f1. 0根据零点定理在内有一个零点.另一方面，对于任意实数有)(xf)0 , 1(, x)(xf 154 x, 0所以在内单调增加，因此曲线与轴至多只有一个交点.)(xf),()(xfy x综上所述可知，方程在区间内有且只有一个实根.015 xx)0 , 1(例例 8 证明方程在区间内有两个实根.1lnexx), 0( 证证 令欲证题设结论等价于证在内有两个零点., 1ln)(exxxf)(xf), 0( 令 因故在内有一零点
9、有一零点.011)(exxf. ex , 1)(ef,)(lim 0 xf x)(xf), 0(e又因在内故在内单调增加，这零点唯一.), 0(e, 0)( xf)(xf), 0(e因此, 在内有且仅有两个零点, 证毕.)(xf), 0( 例例 9 (E06) 判定 的凹凸性.)1ln(xxy解解 因为,111xy2)1 (1 xy 所以，题设函数在其定义域内是凹的.), 1(例例 10 (E07) 判断曲线的凹凸性.3xy 解解 当时， 曲线在为凸的；Q,32xy ,6xy 0x, 0 y0 ,(当时， 曲线在为凹的；注意到点是曲线由凸变凹的分界点.0x, 0 y), 0 )0 , 0(例例
10、 11 (E08) 求曲线的拐点及凹、凸区间.14334xxy解解 易见函数的定义域为),(,121223xxy.3236 xxy令得, 0 y, 01x.32 2xx)0 ,(0)32, 0(2/3), 3/2()(xf +00+)(xf凹的拐点) 1 , 0(凸的拐点)27/11, 3/2(凹的所以，曲线的凹区间为,凸区间为拐点为和.0 ,(),3232, 0) 1 , 0()27/11, 3/2(例例 12 求曲线 的拐点.)2 , 0(cossinxxxy解解 y,sincosxx y ,cossinxx y .sincosxx 令得 , 0 y,43 1x.47 2x 43f2, 0
11、 47f2, 0在内曲线有拐点为2 , 0,0 ,43.0 ,47注注：若不存在，点也可能是连续曲线的拐点.)(0xf )(,(00xfx)(xfy 曲线凹凸性判断曲线凹凸性判断例例 13 (E09) 求函数的凹凸区间及拐点.32bxay解解 y, )(1 3132bx y , )(9235bx 函数在处不可导，但时，曲线是凸的，时，曲线是凹的.ybx bx , 0 ybx , 0 y故点为曲线的拐点),(2ab32bxay例例 14(E10) 求出函数的极值.593)(23xxxxf解解 ,令得驻点)3)(1(3963)(2xxxxxf, 0)( xf. 3, 121xx列表讨论如下：x)
12、1,(1)3, 1(3), 3( )(xf 00 )(xf极大值极小值所以, 极大值极小值,10) 1(f.22)3(f例例 15 (E11) 求函数的极值.32) 1()4()(xxxf解解 函数在内连续，除外处处可导，且) 1 ()(xf),(1x;13) 1(5)(3xxxf令得驻点为的不可导点;)2(, 0)( xf; 1x1x)(xf列表讨论如下:)3(x) 1,(1) 1, 1(1), 1 ( )(xf 不存在0)(xf极大值极小值极大值为极小值为)4(, 0) 1(f. 43) 1 (3f例例 16 求函数 的单调增减区间和极值. 3/2 23xxxf解解 求导数当时而 时不存在
13、 ,1)(3/1xxf1x, 0)0( f0x)(xf 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:x)0 ,(0) 1, 0(1), 1 ( )(xf 不存在0)(xf极大值 0极小值21由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点)(xf), 1 (),0 ,() 1 , 0(处有极大值, 在点处有极小值如图.0x1x,21) 1 (f例例 17 (E12) 求出函数的极值.20243)(23xxxxf解解 令得驻点),2)(4(32463)(2xxxxxf, 0)( xf. 2, 421xx又故极大值, 66)( xxf, 018)4( fQ,60)4(f, 018)2( f故极小值.48)2(f注意注意：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.0)(. 10 xf)(xf0x函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 2例例 18 (E13) 求函数的极值.1) 1()(32 xxf解解 由得驻点, 0) 1(6)(22xxxf, 11x. 1, 032xx).15)(1(6)(22 xxxf因故在处取得极小值，极小值为因故用, 06)( xf)(xf0x. 0)0(f, 0) 1 () 1( ff定理 3 无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:)(xf 11x13x当取
