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1、西安文津教育 62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间 625682770一元二次方程的有理根总结一元二次方程的有理根总结求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根 的判别式为完全平方数来讨论。1、 如果是完全平方式，求的值112xmxm2、 若是整数，求所有满足条件的正整数的值20052aa3、关于，的方程有整数解，求满足条件的的值xy29222yxyxyx,4、设 k 为整数，且，方程有有理根，求 k 的值。0k0112xkkx5、当是什么实数时，对于任意有理数，方程有有理根？qp0
2、431222qppxpx6、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个。 x01212axxaa7、已知是正整数，且使得关于方程至少有一个整数根。求的值。ax0341222axaaxa8、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。rx02322rxrrx9、试确定一切有理数 r，使得关于 x 的方程 rx2+（r+2）x+r-1=0 有根且只有整数根10、已知为质数，使一元二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值。p015222pppxxp11、已知，求方程的整数根。198 qp02qpxx12、设关于的二次方程的两根都是整数。求满足条件的所有实x4462862222kxkk
3、xkk数的值。k13、已知关于的方程的两个根都是正整数，求的值。x01122mxmxm一元二次方程的公共根与整数根一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值 和公共根二、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参20axbxc(0)a 24bac 数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特 点，设法将二次方程转化为两个一次式
4、，再根据整数根确定其解。其转化途径：或直接分解因式；或利用根西安文津教育 62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间 625682771与系数的关系；或利用求根公式。 求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：20axbxc(0)a 为完全平方数；24bac 或，其中为整数242bbacak 242bbacak k 以上两个条件必须同时满足，缺一不可 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理
5、数)abc三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围例题 一、一元二次方程的公共根例 1 求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根k210xkx 2(2)0xxk例 2 设为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明：一,a b cABC222xaxb222xcxbABC 定是直角三角形例 3 三个二次方程，有公共根20axbxc20bxcxa20cxaxb 求证：；0abc 求的值333abc abc例 4 试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根270xkx26(1)0xxkk例 5 二次项系数不相等的
6、两个二次方程和222(1)(2)(2 )0axaxaa(其中，为正整数)有一个公共根，求的值222(1)(2)(2 )0bxbxbbabbabaab ab 二、一元二次方程的整数根例 6：为什么实数时，关于的方程的解都是整数？kx2(6)(9)(11715 )540kk xk x例 7：若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有x26911715540kk xk xk_个例 8：已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程ax32(17)(38)560xaxa xa 的整数根练习 1、若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值kk22(1)6(31)720kxkxk练/
7、2、关于的二次方程的两根都是整数求满足条件的所有实数x2222(68)(264)4kkxkkxk 的值k西安文津教育 62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间 625682772练/3、当为何整数时，方程有整数解m222525xmxm练习/4 已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个x24832xnxn22(3)220xnxnn 方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说n 明理由练习/5 求所有有理数，使得方程的所有根是整数r2(1)(1)0rxrxr练习 6/已知关于的方程的两根
8、都是整数，求的值x2(6)0xaxaa练习 7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值kx22(2 )(46 )80kk xk xk练/8、已知为质数，二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值p222510xpxpp p练/9 已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数1240mx222(1)0xmxmm练习 10、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足试求这个直角三ab()ab24abmabm 角形的三边长练习 11、关于的方程至少有一个整数解，且是整数，求的/1x22(3)(2)0axaxaaa练习 12、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么 2223821
9、3150axaa xaaaa 练/13、当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都mx2440mxx2244450xmxmm 是整数练/14、设为整数，且，方程有两个整数根，求的值及m440m222 2341480xmxmmm方程的根练/15、当为何整数时，方程有整数解m222525xmxm练/16、已知方程(是非负整数)至少有一个整数根，那么 22238213150axaa xaaaa 西安文津教育 62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间 625682773练/17、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有x2691171
10、5540kk xk xk_个/18 设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解2(2)(3)0mxmxmm19 已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求ax22(21)4(3)0axaxa 的值a20 已知关于的方程 (其中是非负整数)至少有一个整数根，求x2222(38 )213150a xaa xaaa 的值a21 已知，为整数，方程的两根都大于且小于，求和的值bc250xbxc10bc22 已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请求出abx21()02xabxab来；如果没有，请给出证明23 已知方程及分别各有两个整数根及，且，20x
11、bxc20xcxb12,xx12,xx120x x 120x x 求证：，；10x 20x 10x 20x 求证：；11bcb 求所有可能的值,b c24 设是两个奇整数，试证方程不可能有有理根pq、2220xpxq25 试证不论是什么整数，方程没有整数解，方程中的 是任何正的奇数n21670sxnxs26 求方程的所有整数解33222240a babab27 已知为整数，关于的方程组的所有解均为整数解，求的值a, x y23(2)(1)22xyaxxyaxa a28 求方程的所有正整数解223 7xy xxyy29 求所有的整数对，使( ,)x y32232244447xx yxyyxxyy
12、30 设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根，求的值mx2(1)10mxmx m西安文津教育 62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间 62568277431 当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整mx2440mxx2244450xmxmm 数32是正整数，关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根ax32(17)(38)560xaxa xa33 已知是实数，关于的方程组,a b,x y有整数解，求满足的关系式32yxaxbxyaxb( ,)x y,a b34 已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值p222510xpxpp p35 设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数x2222(68)(264)4kkxkkxk 的值k36为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？b220xbx22(1)0xxb b37 已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_个x2(1)210axxa a38 求所有正实数，使得方程仅有整数根a240xaxa39 方程有两个整数根，求 a 的值()(8)10xa x 40 求所有的正整数，使得关于的方程abcx 的所有的根都是正整数222320,320,320xaxbxbxcxcxa41为正整数，方程有一个整数根，则_n2( 31)3
