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1、 高考数学复习资料1-10第1页共10页解析几何与向量综合问题向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为 中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上 设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发 展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复 习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两 方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习； 1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加 法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。 2、
2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线 位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。高考考点回顾 近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天 津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解 析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷 理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修）21道 辽宁19道湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交 汇综合，可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次： 第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减
3、运算、坐标表示、数量积等 基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用 如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、 数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。 考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未 来几年平面向量高考题的一个走向.基础知识 1 向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法； 2 2 实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算； 3 3 平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分 点人坐标公式和向量的平衡移公式； 4 4 椭圆、双曲线、
4、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用； 5 曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）； 6 6 直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问 题）确定参数的取值范围； 7 7 平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆 锥曲线中的典型问题。例题选讲一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再 用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向高考数学复习资料2-10第2页共10页量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇 命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体
5、，求轨迹方程为命题切入点，可以综 合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何 意义，圆锥曲线的定义。 例1已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =jirr,arj yixrr)3(br,且满足|+|=4.j yixrr)3(arbr(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程. (2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) cr的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m 的值。解：(1) =, |=,且|+|=4.Qarj yixrr)3(brj yixrr)3(arbr点P(x,y)到点(,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P的轨
6、迹方程为31422 yx(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得11, yx22, yx，则+=- m, =0448522mmxx1x2x58 1x2x) 1(2 54m因此，22 52 21)5(mmdABSAOB 当时，即m=时，225mm 2101maxS 题设变式题设变式I.1I.1 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, jirr,arj yixrr)3(=,且满足|-brj yixrr)3(ar|=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)br 题设变式题设变式I.2I.2 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, jirr,arj yixr
7、r)3(=,且满足=|.求点P(x,y)的轨迹C的方程. brj yixrr)3(brirar提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -33brirKP的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -3 的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线333 题设变式题设变式I.3I.3 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, jirr,arj yixrr)3(=,且满足=|.求点P(x,y)的轨迹C的方程.brj yixrr)3(brirar提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -33brirKP 的距离，所以点
8、P到定点F的距离与到定直线x= -3的距离比为，当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以31ibarrr 1103x= -为相应准线的椭圆；当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= 3113-为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？3 题设变式题设变式I.4I.4 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直KFKPKFPF线为准线的抛物线)高考数学复习资料3-10第3页共10页 题设变式题设变式I.5I.5 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于
9、KF的直线KFKPPF为准线的圆锥曲线。) 考题考题 ： 已知点A(，0)，B(，0)动点P满足222|2BPABABAP (1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交32曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见 附页） 题设变式题设变式II.1II.1 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, jirr,arj yixrr)3(=,且满足|+|=4.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (brj yixrr)3(arbr,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（，0）)OPBPAP233 题设
10、变式题设变式II.2II.2 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, jirr,arj yixrr)3(=,且满足6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)brj yixrr)3(arbr例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.PNPMPHPH,（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为A B的中点，若过点R与定点Q(0，- 2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.导析 （1）设P(x，y)，则H(0，y)， ),0 ,( xPH),2(y
11、xPM).,2(yxPN. 4)2)(2(,2222yxyxxPNPMxPHPH所以又因为所以有, 2 PHPHPNPM. 24222 xyx所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x0).（2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3).化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0. 42)(22xyxky由所以 .12,12 22322 21 3kkykkxxx 所以有.133 kxy所以DQ的方程为 令y=0，得,2233 xy xy,21223330xkxy x高考数学复习资料4-10第4页共10页又由45)211(2212122220 kkk kx所
12、以可得k2，由题意可知k1， . 0, 0, 01632) 1(161623212224yyyykkk21 22所以1，所以-()2+1， 所以2x02+.k1212 211k4522故所求的x0的取值范围为(2，2+).22 题后反思题后反思 若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？ 当0q1时，点P的轨迹为椭圆 例3、如图所示，点F (a，0)(a0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且 PMPNPFPM, 0 （1）求点N的轨迹C的方程； （2）过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0.KAKB2答案提示 （1）点N的轨迹
13、C的方程为axy42 变化变化 点F (a，0)(a0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且（为常数）求点N的轨迹仍为抛物线吗？；PMPNPFPM, 0二、把向量作为工具去推导与探索圆锥曲线的标准方程和几何性质，曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两1F12622 yx点，(1)，求点M的轨迹方程.)(21OBOCOM答案 13) 1(22yx (2)若相应于焦点F的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆l相交于P、Q两点.设（），过点P且平行于准线 的直线与椭圆AQAP1l相交
14、于另一点M，证明:.FQFM 解：(1)略(2) 证明：.由已知得方程组), 3(), 3(2211yxAQyxAP高考数学复习资料5-10第5页共10页. 126, 126,),3(32 22 22 12 12121yxyxyyxx注意，解得1 2152x因，故),(),0, 2(11yxMF), 1)3(), 2(1211yxyxFM.),21(),21(21yy而，所以),21(), 2(222yyxFQ.FQFM 结论发散结论发散 设P()为椭圆上一点，00, yx(1) 求的MinPFPF 1 (2) 求的MaxPFPF 1(3) 当0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上pyx22 的射影分别为C、D，（1） 若，求抛物线的方程。6OBOA （2） CD是否恒存在一点K，使得0 KBKAY A F P B X O 高考数学复习资料6-10第6页共10页D K C 解：（1）提示：记A（）、B 1, 1yx（）设直线AB方程为代入抛物线方程得22, yx2pkxy0222pkpxx2 41 212 21,pyypxxOBOA62 43 2121pyyxx（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，则)()(PBTPPATPTBTAPBPAPBPATPTP)(202 41)(CADBPBPA412)(FAFB
