(课堂设计)高中数学空间中的平行关系平行直线学案新人教B版必修

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1、1.2.21.2.2 空间中的平行关系空间中的平行关系(1)(1)平行直线平行直线自主学习学习目标 能认识和理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理自学导引 1_的两条直线叫做平行线,过直线外一点有且只有 _直线与这条直线平行 2基本性质 4:_,用符号表述为 _ 3等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边 _,那么这两个角相等 4顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形叫做_,四个点 叫做空间四边形的_,所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的_,连接 不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的_对点讲练 知识点一 理解有关概念及性质例 1 下列叙述是否正确,请说明理由 空间四边形的四

2、个顶点不共面,它有四条边两条对角线 空间四边形不是平面图形,可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形 沿着公共底边适当翻折而成的空间图形 顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形 四边都相等的四边形都是菱形 有三个角都是直角的四边形是矩形点评 空间四边形是立体几何中的一个重要模型,应掌握其画法及特征 变式训练 1 在空间四边形 ABCD 中,若 ACBD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,则四边形 EFGH 是( ) A菱形 B矩形 C梯形 D正方形知识点二 平行公理的应用例 2 如图所示,P 是ABC 所在平面外一点,D、E 分别是PAB、PBC 的重心

3、求证:DEAC,DE AC.1 3点评 空间图形中的平行,往往转化到某一个平面中去,利用平面性质:如中位线、 平行截割定理等 变式训练 2 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,且1,那么四边形 EFGH 是什么图形?AE EBAH HDCF FBCG GD知识点三 等角定理的应用例 3 如图所示,两个三角形 ABC 和 ABC的对应顶点的连线 AA、BB、CC交于同一点 O,且 .AO OABO OBCO OC2 3(1)求证:ABAB,ACAC,BCBC;(2)求的值S ABC S ABC点评 本题考查了等角定理,等角定理的实质是由两

4、个结论合成的:若一个角的两 边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等;若一个角的两边与另一 个角的两边分别平行且一组边的方向相反,那么这两个角互补 变式训练 3 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E、F、E1、F1分别为所在边中点求证: (1)EFE1F1; (2)EA1FE1CF1.1.空间两条直线的位置关系Error! 2注意:等角定理的逆命题不成立. 课时作业一、选择题 1已知 ABPQ,BCQR,ABC30,则PQR 等于( ) A30 B30或 150 C150 D以上结论都不对 2若AOBA1O1B1,且 OAO1A1,OA 与 O1A1的方向相同,则下

5、列结论中正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 3正方体 ABCDA1B1C1D1中,P、Q 分别为 AA1、CC1的中点,则四边形 D1PBQ 是( ) A正方形 B菱形 C矩形 D空间四边形 4如图所示,设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD边 AB、BC、CD、DA 上除端点外的点,且,.则下列结论中不正AE ABAH ADCF CBCG CD确的为( ) A当 时,四边形 EFGH 是平行四边形 B当 时,四边形 EFGH 是梯形C当 时,四边形 EFGH 是平行四边形1 2D当 时,四边形 EFGH

6、 是梯形1 25已知空间四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点,则下列判断正确的是( )AMN (ACBD)1 2BMN (ACBD)1 2CMN (ACBD)1 2DMN (ACBD)1 2题 号12345 答 案二、填空题 6下列命题中,正确的结论有_(填写序号) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; 如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 7在空间四边形 ABCD 中,点 E、

7、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,若 ACBD,且 ACBD,则四边形 EFGH 的形状为_8.如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_ 三、解答题9.如图所示,在一个长方体木块的 A1C1面上有一点 P,过 P 点作一条直线和棱 CD 平行, 应怎样作?若要求过 P 点画一条直线和 BD 平行,又该怎样作?10.如图所示,在三棱锥 AB

8、CD 中,E,F,G 分别是棱 AB,AC,AD 上的点,且满足AE AB.AF ACAG AD求证:EFGBCD.【答案解析】 自学导引 1在同一平面内不相交 一条 2平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果 ab,cb,那么 ac 3分别对应平行,并且方向相同 4空间四边形 顶点 边 对角线 对点讲练 例 1 解 由空间四边形的定义知命题都是真命题空间四边形的四条边可相等,故命题 为假命题关于命题可构造正方体 ABCDA1B1C1D1,如图, D1ABABCBCD190,但AD1C60,四边形 ABCD1不是矩形,故为假命 题 变式训练 1 A 例 2 证明 连接 PD 并延长交 AB 于

9、 M,连接 PE 并延长交 BC 于 N,则 M 为 AB 的中点, N 为 BC 的中点,MNAC,又 ,PD DMPE EN2 1DEMN,DEAC.又 ,DE MNPD PM2 3DE MN,又因 MN AC,2 31 2DE AC.1 3变式训练 2 解 四边形 EFGH 是平行四边形因为,AE EBAH HDCF FBCG GD所以AEHABD,CFGCBD.设k(k1),则利用相似三角形的性质,知AE EBAH HDCF FBCG GDEHBD,FGBD,且 EHBD,FGBD,所以 EHFG,所以四边形 EFGH 是平行四k k1k k1边形 例 3 (1)证明 AA与 BB交于

10、点 O,且 ,ABAB.AO OABO OB2 3同理 ACAC,BCBC. (2)解 ABAB,ACAC且 AB 和 AB、AC 和 AC方向相反, BACBAC. 同理ABCABC.因此ABCABC,且 .AB ABAO OA2 32 .S ABC S ABC(2 3)4 9变式训练 3 证明 (1)连接 BD、B1D1. E、F 分别为 AD、AB 的中点,则在ABD 中有 EFBD 且 EF BD.1 2同理,E1、F1分别为 B1C1、C1D1的中点,则在C1D1B1中有 E1F1B1D1且 E1F1 B1D1.1 2而在正方体 ABCD A1B1C1D1中,BB1DD1. 四边形

11、BB1D1D 为平行四边形, BDB1D1且 BDB1D1,EFE1F1. (2)取 A1B1的中点 M,连接 BM,则 BFA1M AB,1 2又 BFA1M,BFA1M, 四边形 A1FBM 为平行四边形 A1FBM,而 M、F1分别为 A1B1、C1D1的中点, 则 F1MC1B1,而 C1B1BC. F1MBC 且 F1MBC. 四边形 F1MBC 为平行四边形, BMF1C,又 BMA1F,A1FCF1. 同理取 A1D1的中点 N, 连接 DN,则 A1NDE, 所以四边形 A1NDE 为平行四边形 A1EDN,又 E1NCD 且 E1NCD. E1NDC 为平行四边形,DNCE1

12、. 由基本性质 4,A1ECE1. EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行, 即 A1ECE1,A1FCF1且方向都相反 EA1FE1CF1. 课时作业 1B 由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补 2D 等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB 与 O1B1有可能平行, 也可能不在同一平面内,位置关系不确定 3B 设正方体棱长为 2,直接计算可知四边形 D1PBQ 各边均为 ,又 D1PBQ 是平行5四边形,所以四边形 D1PBQ 是菱形 4D 当 时 EHFG,EFGH 为平行四边形, 故 D 中结论不正确 5D如右图所示,取 BC 中点 E

13、,连接 ME,NEError!MN (ACBD)1 26 7正方形 解析 E、F、G、H 分别为所在边的中点,由中位线性质知 EFAC,GHAC,1 21 2EFGH.四边形 EFGH 为平行四边形 又 ACBD,ACBD,EFFG,且 EFFG. 四边形 EFGH 为正方形 8(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9解 如图所示,(1)过点 P 作 EFC1D1分别交 B1C1、A1D1于点 E、F 即可因为 CDC1D1,所以 EFCD. (2)过点 P 作 GHB1D1分别交 B1C1、C1D1于点 G、H 即可因为 BDB1D1,所以 GHBD.10证明 在ABC 中,AE ABAF ACEFBC 且.EF BCAE AB同理,EGBD 且.EG BDAE AB又FEG 与CBD 的对应两边方向相同,FEGCBD.,EF BCEG BDEFGBCD.

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