《Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考迭代矩阵求法的思考在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵的某种范数B，则迭代法 对任意的初始向量都收1 qBL, 1 , 0,)()1(kdBxxkk)0(x敛于方程组的精确解。从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法bAx *x是否收敛，就要知道迭代矩阵（当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代一定收敛） ，Jacobi 迭代矩阵为，Gauss-Seidel 迭代ADIULDBJ11)(矩阵这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆。，ULDBG1)(从上高等
2、代数时学到矩阵的逆开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵 A 的逆,这就必须求出 A 的行列式与 A 的伴随矩阵,对于*11AAAA*A求矩阵 A 的行列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此，这儿还要求出矩阵 A 的伴随矩阵。如果矩阵，*AnnnnnnaaaaaaaaaALMMMLL212222111211则，而其中的，nnnnnnAAAAAAAAAALMMMLL212221212111*nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaaALLMMMMLLLLMMMMLL1,1,1, 11, 11, 11 , 1, 11, 11, 11
3、 , 111, 11, 111ij因此求的计算量比求 A 的行列式的计算量还要大的多，所以很难求。因*A1A此数学家便开始寻找求的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即1A对进行初等行变换，当把 A 变成 E 时，E 便变成了，此方法要简单的EAM1A多，但在变换过程中要消耗大量空间。在用迭代法解线性方程组的方法中，都涉及到了一个矩阵的逆，而且其涉及到的还不仅仅是一个矩阵的逆那么简单，其涉及到的是用一个矩阵的逆去乘另一个矩阵，如果一步一步算，想要算出矩阵的逆，再算两个矩阵相乘，没有一步是简单的，两步计算过程都很繁琐，极易出错。仔细观察后，我发现正是因为矩阵的逆与另一矩阵相乘，从而在整体上
4、出现了相对简单的计算，其过程是略去矩阵逆的计算，从而简化计算。对于 n 介线性方程组，即，其系数矩阵 nnnnnnnnbxaxaxabxaxaxaLML221111212111 bAx 非奇异且，对，则可建立 nnijaAniaii, 3 , 2 , 10LL, 2 , 1 , 0kJacobi 迭代格式:1).(1),(1),(1)( 11,)( 22)( 11)1(2)( 2)( 323)( 121 22)1( 21)( 1)( 313)( 212 11)1( 1nk nnnk nk n nnk nk nnkkkk nnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaaxLMLL我
5、们知道 Jacobi 迭代矩阵为,其中 2)(11ADIULDBJ， ，nnaaaDO221100001,21323121nnnnaaaaaaLLOOMM。 30000, 122311312 nnnnaaaaaaUOMOLL由式可看出，计算，首先需求出,然后再作矩阵乘法。当然这儿由JB1D于的特殊性，很好求，=，D1D1Dnnnn aaaaaa11122111 -2211OO000-0-B3213333332333122222231121111111311121 JLMOMMMLLLnnnnnnnnnnnnaa aa aaaa aa aaaa aa aaaa aa aaADI如果我们抛开式，直
6、接看，就会发现，其实可以直接写出来，无需JB计算，由可得，其直接从线000-0B321333333233312222223112111111131112JLMOMMMLLLnnnnnnnnnnnnaa aa aaaa aa aaaa aa aaaa aa aa性方程组中得来，显然快于一步步的计算，而且第二中算法不仅简单还不容易出错，提高了求迭代矩阵的效率。当然，第一种算法的可以直接写出很好1D求，从而效率也没提高多少，但对于 Gauss-Seidel 迭代，就不然了。Gauss-Seidel 迭代格式： 4).(1),(1),(1)1( 11,)1( 22)1( 11)1(2)( 2)( 32
7、3)1( 121 22)1( 21)( 1)( 313)( 212 11)1( 1nk nnnk nk n nnk nk nnkkkk nnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaaxLMLL我们知道 Gauss-Seidel 迭代矩阵,其中矩阵 D,L,U 与 5)(1ULDBG上述中一样。但此处就不是太好求了，即使它是个下三角矩阵。然1) LD（而求出后，还要进行矩阵的乘法，因为即：1) LD（ULDBG1)(0000)(, 12231131213213332312221111nnnnnnnnnG aaaaaaaaaaaaaaaaULDBOMOLLLOMMM计算有点繁琐，然
8、而，我产生一种想法，其是否也可与 Jacobi 迭代矩阵那样,直接写出来了？通过一番计算，再加上实例的体会，我找出了一种相对简洁的关系。把式写成 421)(1) 1( 11,) 1( 22) 1( 11) 1(2)( 2)( 323) 1( 121) 1( 2221)( 1)( 313)( 212 11) 1( 1nbxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaaxnk nnnk nk nk nnnk nnkkkk nnkkkLMLL把 1）代入 2）并整理得（由于我们的目的是得到矩阵，所以在此就不考虑了）nbbb,21L2 ）)( 2 111 21)( 323 1113 21)( 2 1
9、112 21)1( 222)()()(k nnnkkkxaaaaxaaaaxaaaxaL令，则 1）变为111 1 1113 13 1112 12,aabaabaabn nL 。此时 2 ）式变为)( 1)( 313)( 212)1( 1k nnkkkxbxbxbxL)( 222121)( 322231321)( 2221221)1( 2/ )(/ )(/ )(k nnnkkkxaabaxaabaxabaxL2)。令，则 2)式变为222121 2 22231321 23 221221 22,- aababaababababnn nL。把、式代入 3）式整理得)( 2)( 323)( 222)
10、1( 2k nnkkkxbxbxbxL3 ）)( 3232131)( 43424321431)( 323321331)( 222321231)1( 333)()()()(k nnnnkkkkxababaxababaxbabaxbabaxaL令333232131 3333424321431 34 3323321331 33 3322321231 32,aabababaabababababababababnnn nL则 3 ）式变为 )( 3)( 434)( 333)( 232)1( 3k nnkkkkxbxbxbxbxL 如此一直在前一步的基础上求后一步矩阵中的元素的值，一直进行下去，则 n-1
11、)式变为则第 n 个式子变为)( , 1)( 13 , 1)( 12, 1)1( 1k nnnk nnk nnk nxbxbxbx L)( , 11, 22, 11 ,)( 33 , 11,232,131 ,)( 22, 11,222,121 ,)1()()()-(K nnnnnnnnnK nnnnnK nnnnnk nnnxbababaxbababaxbababaxaLLLL即)( ,)( 44,)( 33 ,)( 22,)1(k nnnk nk nk nk nxbxbxbxbxL从而得到 Gauss-Seidel 迭代矩阵 nnnnnnnnnnnnnnnnGbbbaaba aaba aba
12、bbbbbbbabbbbbbBLMMMMLLLMMMLLLMMMLL3222212122231321221221113122222111n111222221120-0000a- aa-00003213332321313323321331332232123122322113120000nnnnnnnnbbbaababa ababa abababbbbbbLMMMMLLL nninini ininii inii ii iiii iiii iiii iiiniibbbaababaaababaabababbb,1, 11, 11 ,1,1, 11,1, 11 , 11, 11 , 11, 1, 10-
13、00LLMMMMLLLLLMMMMLLnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnababaababaabababbbbbbbbb, 11,11 ,3 , 11,131 ,2 , 11,121 ,333232232211312-0000LLLLMMMMLLL（*）接下来我用书上一个例子来展现上述方法求迭代矩阵的优越性：例 设方程组为试分别写出 Jacobi 迭代和 Gauss- ,722025,19103, 928321321321xxxxxxxxxSeidel 迭代格式以及相应的迭代矩阵。解：原方程的 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式分别为 和),7225(201),193(101),92(81)( 2)( 1)1( 3)( 3)( 1)1( 2)( 3)( 2)1( 1kkkkkkkkkxxxxxxxxx),7225(201),193(101),92(81)1( 2)1( 1)1( 3)1( 3)1( 1)1( 2)( 3)( 2)1( 1kkkkkkkkkxxxxxxxxx由可直接得 Jacobi 迭代矩阵为01 . 0411 . 003 . 0 41 810JB而相应的 Gauss-Seidel 迭代矩阵可由（*）式得：
