《勾股弦幻方组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股弦幻方组（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、勾勾 股股 弦弦 幻幻 方方 組組梁梁 培培 基基 由自然數 A，B，C 構成的數組，並且滿足方程：A2+B2=C2則稱 A、B、C 爲勾股弦數組。如果勾股弦數組的三個元素兩兩互素（即他們沒有公約數），稱爲“本原勾股弦數組”。如果將一個本原勾股弦數組的各個元素同時乘以一個相同的數，得到的有公約數的新勾股弦數組，則稱爲“倍數勾股弦數組”。勾股弦數組是一個古老的數學問題，據有關資料報道，僅勾股弦數組的證明方法就有 400 多種 12。第一節第一節 勾勾 3、股、股 4、弦、弦 5 幻方組幻方組本文介紹以勾、股、弦數組爲階次的三個幻方。這三個幻方的階次是勾股弦數組，並且他們的幻和也是勾股弦數組。如果
2、由 A2+B2+C2個自然數構成的 A 階、B 階與 C 階幻方，它們的幻和分別記作 SA，SB，SC。如果 A、B、C 是勾股弦數組，即 A2+B2=C2。並且滿足：S +S =S ，則稱這三個幻方爲“勾股弦幻方組”。圖 1 的 A、B、C 三個幻方是一組“勾股弦幻方組”，其“幻和”分別爲S3=84，S4=112，S5=140。它們的階次 3、4、5 是一個勾股弦數組；它們的“幻和”：842 + 1122 = 1402 ，即：7056 + 12544 = 19600，也是一個勾股弦數組。所以他們是勾股弦幻方組。其中：、3 階幻方具有雪花幻方的性質。、4 階幻方與 5 階幻方都具有全對稱幻方的
3、性質。即每行、每列及各條對角線（包括折斷對角線）上的 N 個元素之和都等於定值。、3 階幻方與 4 階幻方全部由偶數所組成。、在 5 階幻方中僅僅使用了 56、58、60、62、64，五個偶數，其餘全部是奇數。723 64 15 31250 48 1260 11 3732922 52 1042 18 20 3233925 56 1716 28 4024 36 38 1421 62 13 3954643444865419 35127 58圖 1 A BC對於勾股弦幻方組，筆者得到下面的結果：1不存在由連續自然數構成的“本原勾股弦幻方組”；不存在由連續自然數構成的“本原勾股弦數組”奇倍數階次的幻方
4、。2存在由連續自然數構成的“倍數勾股弦數組（A、B、C 爲本原數組的偶數倍）”階次的幻方。勾股弦數組在測量和計算等方面有廣泛的應用，勾股弦數組的實際應用，導致了無理數的重大發現2。爲紀念勾股弦數組之功績，我們用 20 個字來頌其功績：奇妙勾股弦，天下廣流傳，成就冠寰宇，萬古流芳遠。第二節第二節 倍數勾股弦數組倍數勾股弦數組 勾勾 6、股、股 8、弦、弦 10 幻方組幻方組下面筆者給出由連續自然數 1，2，200 構作的 A=6，B=8，C=10 的勾股弦幻方組（圖 2.1，圖 2.2，圖 2.3）。其中 A 是一個分層幻方，內心（粉紅色虛線部分）是一個 4 階全對稱幻方，整體是一個 6 階幻方
5、。C 是一個分層幻方，內心（綠色虛線部分）的 8X8 方陣與 B 陣是一對“8 階同值平方幻方”。52122160701459161103371271538313694601141101981961944901481026412349711571991118914188295133115571264082156192186161831791204676162851431056761871319012195129437715110013811254818184151851931428866108471171637319719135720013997551094213215080圖 2.1 A,
6、S6= 603， S4=402。 圖 2.2 B, S8=804， S =91724。1928180178176293617016722181981401105613141791492017487141107651184874164272444130152781379953111177264511916175144866810617517113496581163912515581301661478963101501241587235321283884154931351135916933121516915992146104621681791732123251721653134182圖 2.3 C
7、, S10=1005； S8=804，S = 91724。62 + 82 = 10 2， 6032+8042=10052 。對於勾股弦幻方組 Z 陣元素的選擇，有很多種方法，請讀者自己發掘。如果找到新的 Z 陣元素，構造出新的勾股弦幻方組，將使您忘記疲勞和煩惱，而帶來無窮的樂趣。第三節第三節 勾股弦數組的拓廣勾股弦數組的拓廣 A3A3、B4B4、C5C5、D6D6 幻方組幻方組在三階幻方中，有一組勾股弦數組，即 32+42=52。我們把他稱爲 3 元數組，因爲該數組共有 3 個元素。 另有 3 次冪和相等的 4 元數組，即：33+43+53=63 。我們稱爲“拓廣勾股弦數組”。我們把一、二節所
8、談的幻方稱爲 3 元幻方組，本節討論 4 元幻方組。圖 3.1 是 A=3、B=4、C=5、D=6 的幻方組。圖 3.11213238384852753763757341980792266495947743560255686703132671449992929108958285472388233686930183509711909185275366126717821208129981519365963959245573158777171688A，S3=150B，S4=200C，S5=250D，S6=300（4=200）A3+B3+C3=D3， 即 1503+2003+2503=3003 = 2
9、7000000我們可以造出由連續自然數 1344 组成的 6、8、10、12 階幻方组，他們滿足 A3+B3+C3=D3 （圖 4 A，B，C，D） 。110342340338461133333214339833016173273373431832832915233633113123349341335357344圖 4，A，S6=1035（中心部分 S4=690）1928324 322 320 314 311 29362252266 304 70289 9161247 2498284 254 56275 4179293 32137271 297 83280 9460258 2687285 25
10、1 65262 4874308 31990292 246 64267 4971301 3044274 296 78281 9953255 31595277 259 57270 4082300 3545263 305 75288 8668250 310264 4676306 85287 249 67312 278 9658260 39269 299 8133273 4377295 100 282 256 54313 291 8963245 50268 302 7232286 8866252 47261 307 73325 272 3884298 93279 257 5920283 9755253
11、 42276 294 80318 265 5169303 92290 248 6227圖 4，B， S8=1380，S=32730828323 317 2123253134316 309 326圖 4，C，S10=1725 圖4 C 的中心部分是一個 8 階幻方平方幻方，其 1 次、2 次幻和與圖 4 的 B 階相同，並且這兩個幻方的每行上 16 個元素（兩個綠色部分）的S16=2760， S=654616； 216S=174509280。我們稱為“同值平方幻方” 。316歌曰：同值幻方妙趣無窮，幻和相等模樣相同，數理蕴藏左右對稱，誰大誰小難分伯仲。123 113 171 165 194 24
12、4 172 105 190 187 236 170 242 168 206 205 131 133 102 224 195 184 145 135 178 234 233 153 220 183 136 185 115 107 138 188 119 146 202 118 117 179 213 208 156 229 152 231 186 191 149 106 120 141 221 142 235 216 215 148 176 217 108 134 163 122 164 201 127 198 219 241 169 128 237 211 182 223 181 144 21
13、8 147 126 104 159 154 196 239 225 204 124 203 110 129 130 197 226 199 143 227 228 166 132 137 189 116 193 114 167 111 112 192 125 162 209 160 230 238 207 157 103 177 139 140 214 212 243 121 150 161 200 210 222 232 174 180 151 101 173 240 155 158 109 175 圖 3.2 D， S12=2070， S =77810， S =72325800.212312圖 3.2 D 的幻方由連續自然数 101244 構成。其兩條對角線上的 S 412=14389435574.参考資料：1 蕭文强 “古今勾股弦” 數學傳播電子版。2 梁宗巨 世界數學史簡编，遼寧人民出版社，1980 年。
