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1、2 4 中学教研 ( 数学) 一道 “钉 子 题 “的 多 角 度 解 法 溯 源 陈新伟 ( 宁阳第一中学山东宁阳 2 7 1 4 0 0 ) 近几年的高考试题 中， 多元最值问题悄然出现 在选择题或填空题的把关题 中， 这类问题考查知识 面广 ， 涉及知识点错综复杂 ， 使学生在考试 中感到 “ 入题难 ” ， 无从下手 ， 只能“ 望题兴叹” ， 避而走之 一些优秀学生则抱着 “ 死 了都要爱 ” 的态 度 ， 不想 放弃却最终不得不放弃 ， 耗费大量 的宝贵时 间 这 类问题被戏称为“ 钉子题 ” 笔者采撷 2 0 1 4年一道 高考试题， 对其解法多角度追根溯源， 意在抛砖引 玉 ，
2、 和大家共 同探讨 例 1 对 于 c0 ， 当 非 零 实 数 a ， b满 足 4 a 一 2 a b + 4 b 一 c = 0且使 I 2 0+b I 最大时， 一 4，+王的最小值为 D C ( 2 0 1 4年辽宁省数学高考理科试题第 1 6 题 ) 分析从题 目设置来看 ， 本题若想轻松解答 ， 则必须要解决 2个问题， 即I 2 o+ 6 l 取得最大时说 明什么?3个变量 间的关系是什么?认 清这 2个 问题也就抓住 了问题 的“ 心脏 ” ， 进而把 多元最值 问题转化为我们熟悉的数学知识来解决 1 源于教材基本不等式 ， 警惕走过路过全错过 利用基本不等式 0+6 2 -
3、ff( a0 ， b 0 ) 及 其 变 形 6 f 1 是 高 中 阶 段 解 决 最 值 问 题 的 常用方法之一， 在运用基本不等式的过程中必须遵 循“ 一正 、 二定 、 三相等” 的原则 ， 三者缺一不可 运 用过程中的难点在于构造 “ 定值” ， 本题我们要 紧 紧抓住 “ I 2 n+ 6 I 何时取得最大” 这一 问题“ 心脏” ， 结合条件进行变形， 构造“ 定值” ， 避免走过路过全 都错过 解 法 1 因为 4 0 一2 a b+46 一c： ( 2 口+ 6 ) 一 6 a b+ 3 b 一 C = O ， 所以 ( 2 口+b ) = 3 b ( 2 ab )+C =
4、 2 6 ( 2 ab )+c 寻 ( ) + c ， 故 ( 2 + 6 ) z 譬 ， 当且仅 当2 a=3 b时取等号， 此时 0= 6 ， c =1 0 b ， 因 此 丢 一 4 + 5 = 1 一 号 = 1 【 1 2 ) 一 2 一 2 ， 即 当 n= 3，6 = ， c ： 寻 时 ， 丢 一 46 + 的 最 小 值 为 一 2 2源于解析几何思想， 可谓一石激起千层浪 初探试题 ， 其条件和问题的代数形式都不是很 难 ， 可人手却非常困难 ， 看到 1 2 a+ b I 的代数形式容 易联想到线性规划 中的截距形式 ： z=2 a+b ， 可又 纠结于可行域 4 a 一
5、2 a b+ 4 b =C 是 什么样 子的 在现在的考纲中， 圆锥 曲线 的要求不是很高 ， 学生 只需研究中心在原点的圆锥曲线就行 了， 因此学生 不知道它代表什 么曲线 ， 需要采用 “ 代数换元 ” 转 换法来揭开题目的神秘面纱， 让多元问题“ 现出原 形” 令 a= + y ， b = 一 ， 此时 20+b=3 x+Y 则原方程可化简为 6x2+l O y 2 ：1 又 C 0 ， 故上式方程表示焦点在 轴上 的椭圆 原 题等价于： 已知 +l O y 2 1 ， 探寻 l 3 +y l 取得最 大值的条件 至此， 解法就非常多了， 柯西不等式 、 三角换元 、 法 、 线性规划思
6、想等等， 都是我们熟悉 的方法 下面仅介绍柯西不等式解法和解析几何中 的 法 ， 其他方法不再赘述 在人教 A版 数学选修4 5 不等式选讲中， 教 材介绍了二维形式的柯西不等式 ， 即若 a ， b ， C ， d都 是实数 ， 则 第 1 1 期 陈新伟： 一道“ 钉子题” 的多角度解法溯源 2 5 ( n +b ) ( C + d ) ( 0 c +b d ) ， 当且仅 当 a d= b c 时， 等号成立 解法 2通过以上分析， 知 ( 3 x+ ) + ( + ( 。 = 5 当且仅 当 =5 y时， l 2+6l = ， 此时 0=6 y ， b = 4 y ， c =1 6 0
7、 y ， 故 丢 一 + = 1 一 1 = 1 I 13 2 y 2 7 8 ) 一 2 一 2 ， 故 + 一 I 一 J z 一 因此 ， 当 ， ， ： 1，即 口= 3，6 = 号 ， c = 寻 时 ， 丢 一 _4 +三 的最小值为 一 2 解法3 设z = 3 x+ Y ， 由。 c 1 得 f + ： ， 【 = 3 x + y 9 6 x 一6 0 z x+1 0 z 一c=0 ， ( 1 ) 又 因为椭 圆 +1 0 y 21与动直 线 ：3 +y有公 共点， 故式( 1 ) 有解， 因此 = 3 6 0 0 z 一3 8 4 ( 1 0 z 一 c ) 10 ， 解 得
8、 z 譬 ， 即 警 ， 从 而 = 挚 ， 故 8 c 。 当I 2 a+b I 取得最大值时 A= 0， 由式( 1 ) 解得 一 兰一 一1 6一 8 ， ， 不难得到 或 l 1 0 c l 1 0 c 【 Y ，【 Y 一 又 0= + Y ， b= Y ， 故 ， ， l 0 ， l 一 一 ， 或 l6 _ ， 一 【6 = 1 0 詈 一 + = ( 卅 一 2 ， 等 号 当 且 仅当 c ： 妻时 取 得； 一 三一 牟I 三： 三 0 ( 舍 去 ) F -1- -t- 一= 一一) l J l 十J 口 6 c c C 综 上 可 知 ： 当 口 = 丢 ， 6 = 1
9、 ， c = 5 时 ， 3 一 4 + 5 ， 2 1 0 c 故 = ， 即 I 2 。+6 I = 2丁lv q 2边平方得 2 O 。 +5 6 + 2 0 a b 一， 代入 4 a 一 2 a b+ 4 b =c 得 ( 2 a一3 b ) = 0 ， 2 6 中学教研 ( 数学) 即 2 a =3b 不妨设 口= 3 m， b= 2 m， 则 c= 4 0 m ， 故 一生 + 丢 ： 1 一 1b 8 m = 8 ( m 一 4 ) 一 2 一 2 ， 一 十 ： 一 = l 一 一 斗 l Z 一 Z 0 c m 此 时 m = 丢 ， 即 当 。= 3，6 = 丢 ， c
10、= 吾 时 ， 丢 一 4 + 的 最 小 值 为 一 2 评注解法 4巧妙利用 l 2 口+b I 取得的最大值 2 T1 -0 ，利用12 n+ b I ： 2_ 中口，6 ， c的关系 ， 结合已知方程， 代人消元， 避免了解法 3中的繁琐 讨论 ， 揭示 了此题 的考查核心 ， 即 口 ， b ， c的关 系， 从 而轻松获解 这种解法源于最基本 的数学思想 “ 消元 ” ， 通过转化对多元问题进行“ 消元 ” 处理 ， 具 有较强的普适性 如 2 0 0 8年江苏省数学高考理科 试题第 1 1 题 、 2 0 1 1 年浙江省数学高考理科试题第 1 6题 、 2 0 1 3年山东省数
11、学高考理科试题 第 1 2题 、 2 0 1 4年辽宁省数学高考文科试题第 1 6题均可采 用这种思想方法解答 4 源于过往试题改编 。 体昧“ 前缘未尽今生情” 以上解 法溯 源 ， 我们 均 可 以看 到 通 过 思考 l 2 口+ b l 取得最大值时的条件 ， 来探究 3个 变量 o ， b ， c的关 系， 寻找到三元 的关 系 ， 此题豁然开朗 但 究其目的仍是消元思想， 这是此题数学本质的体 现 ， 应当对这类多元问题 引起重视 那 么此题难道 是空穴来风吗?下面我们通过一道高考试题来看 看命题专家对此类问题的演绎 例 2 设 ， Y为实数 ， 4 + Y + x y=1 ， l
12、J 2 x+ Y的最大值为 ( 2 0 1 1年浙江省数 学高考理科试题第 1 6题) 分析虽然此题明示 了2个变量问的关系， 从 条件人手仍感觉较为困难 如果令2 + Y = ， 即y = t 一 2 x ， 那么 4 + Y + x y=1 可化为 6 x 一3t x+t 一1=0 由于该方程有解 ， 因此 a = 一1 5 t +2 4I0 解得 = 2_ ，此 时 = ， ) ， ： 此题解 法较多 ， 仅举此一例 如果将该题条件方程右侧 “ 1 ” 换成 c ， 即可改 编为与之类似 的2 0 1 4年辽宁省数学高考文科试题 第 1 6题 ： 对 于 c0， 当 非 零 实 数 口
13、， b满 足 1 4 a 一 2 a b+b 。 一c= 0且使 l 2 口+b l 最大 时， 求 + ( 上 ， A + 的最小值 而理科第 1 6题仅是在文科试题 U C 基础上做 了一些点缀 ， 因此就本题而言 ， 视 “ c ” 为 常数 ， 把三元问题二元理解也就不难 了 这种二元 条件最值问题经常会遇到， 但这类问题的演绎方式 可谓美轮美奂 ， 如果不提高数学能力 ， 掌握数学思 想， 只通过大量做题是很难掌握的 这种试题间的 演绎， 其微妙关系真可谓“ 三生情缘缘不尽， 今生 再续前世缘” 5源于三角函数 问题 ， 品味酒香不怕巷子深 研究 I 2 口+b l 的最大值 ， 容
14、易判定 n ， b同号 时 才有可能取得最大， 不妨设 o 0 ， b 0 ， 条件方程 中含有 条件方程 中的“ 口 +b 和“ a 6 ” 这 2个元 素， 其实是我们非常熟悉的代数表达形式， 结合条 件， 可以联想到余弦定理中这样的格式， 如： 十 b 2 n b c o s C =C 2 “ 解法 5 原题 条件 方程 可化为 n 一 2 = 号 ， 如 图 1 ， 原 问题 等价 于： 在 C AA B C 中， c 。 s c = 1，A B= 图 1 牛 ， 当 2 口 + 6 最 大 时 ， 求 三 一 T4 + 三 的 最 小 值 根 据 0 C 正弦定理得 一 一 一 s i n A s i n B s i nC 因此 。： i ， 6： i B， 1 5 1 5 从而 2 口+ 6： ( 2 s i n A+s i n B) 1 5 又 2 s i n A+s i n B=2 s i n A+s i n ( A+C )= ( 9 i + v i 。 s A ) ： d 、 一 。 一 第 l 1 期 陈新伟 ： 一道“ 钉子题 ” 的 多角度 解法溯源 2 7 -s i n ( A+ ) ， 其 中 在 第 一 象 限 ， ta n ： 竽， 可 见 当 A + ： 詈 时 ， ( 2 a + b ) m a = 。 ： ，
