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1、1高考导数问题的命题研究高考导数问题的命题研究与备考策略与备考策略1.考查形式与特点 (1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通 过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态即函 数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考 查函数性质的高考题正成为新的热点。(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查 能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，
2、它们是高考中的重要题型之一特 别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增 加此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函 数(5).近几年为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证 能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多 种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程 度这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜 明的特色，值得深思 (6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一
3、起，以 曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高 考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝 I 试对函数思想方 法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度这类试题 每年至少会有一个 (7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在 函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值 问题，一直是高考长考不衰的热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学 模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值 与最小值问题，从
4、而进一步地解决实际问题利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜 率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数 y=f(x)在 X=Xo 处的导数，表示曲线在点 P(x0,f(x0)处的切线斜率运用导数的有关知识，研究函数的 单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的 2.命题趋势 由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的 考查还将高于课程标准 (1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现 (2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属 于理解、灵活运用层次，难度较大 (3)通过函数
5、应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一 (4)新课程新增内容中与函数有关的内容函数连续与极限、导数是考查的重点，所 占比重将进一步加大. 典例剖析例 1. 已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(xR)给出下列命题：f(x)必是偶函数；2f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线 x=1 对称；若 a2-b0，则 f(x)在区间0，+上是增函数；f(x)有最大值|a2-b|其中正确的命题的序号是_ 解析： 显然是错误的； 由 f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|, 而 f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x-2a+b+l
6、|, f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|， f(x+1)f(l-x)故 f(x)不是关于 x=1 对称，所以不对 f(x)=|(x-a)2+b-a2|， 当 a2-b0 时，b-a20， 所以 f(x)=(x-a)2+b-a2， 故当 xa 时f(x)单调递增的故正确 当 a2-b0 时,f(a)=|b-a2|=a2-b 其图象如图，所以错误 答案 剖析： 函数的性质是高考试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、 对称性以及最值，综合性较强对于多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐 一检验判断 例 2. 已知二次函数
7、y=f(x)经过点(0，10)，导函数 f/(x)=2x-5，当 x(n，n+1 (xN*)时，f(x)是整数的个数记为 an (1)求数列an的通项公式；(2)令 bn=14nnaa，求数列an+bn的前 n 项和 Sn(n3).解析: (1) 由 f/(x)=2x-5 可以设此二次函数为 f(x)=x2-5x+c(c 为常数)因 f(x)图象过(0，10)，故 c=10，故二次函数为 f(x)=x2-5x+10=(x-25)2+415，又因 x(n，n+1)(nN*)时，f(x)为整数的个数为 an f(x)在(1，2)上的值域为4，6，al=2.f(x)在(2，3)上的值域为415，4，
8、a2=1当 n3 时，f(x)在(n，n+1)上单调递增，其值城为(f(n)，f(n+1)an=f(n+1)-f(n)=2n-4an= )3(42)2( 1) 1(2nnnn(2)令 cn=an+bn，则 c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 当 n3 时Sn=c1+c2+(c3+cn)=7+(a3+an)+(b3+bn)=7+2)42(2n(n-2)+424 +644 +)22)(42(4 nn3=7+(n-1)(n-2)+2(221 21 n)=n2-3n+11110 nn.剖析: 本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用. 3.应试对策(1).由于函数内容固有的重要性，预计在以
9、后高考试题中所占比例仍远远大于在课时 和知识点中的比例(约为 20)，既可以“低档题”选择、填空形式出现(如集合、映 射、函数基本性质以及反函数多属此类)。也可以“中档题” 、 “高档题”的形式出现(多与 其他问题联系在一起) (2).考试的热点内容仍以考查函数的定义域、值域、反函数及图象，运用函数性质的 题型为主，其中对运用函数奇偶性、单调性、周期性、对称性的题型是重点考查内容，应予以高度重视关于函数性质的考题中，使用具体函数的约占31，而使用抽象函数的约占32，所以，针对这种高考命题形势，在复习函数性质时，应着重强化将具体函数的有关内容进行延伸，以适应高考命题的要求 (3).应充分注意函数
10、的图象题型，这类考题往往在选择题中出现会处理“读图题型” 和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解 题 (4).在注意函数应用性问题、探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时，更要 注意函数与导数的交叉题型. (5).导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题与时俱进，逐步加深有关导数 的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值由于导数 的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了用导数研究函数的性质比用初等方法研究 要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意考查的方向 还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在
11、连续区间a，b上的最大值或最小值，或利 用求导法解应用题研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点 问题利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要 注意到这一点高考中导数问题的六大热点高考中导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值 1217 分下面例析导数的六大热点问题，供参考一、运算问题一、运算问题是指运用导数的定义、常见
12、函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题4例例 1 1 已知na, 0为正整数.设1)(,)(nnaxnyaxy证明证明证明：因为nkk nnCax0)(kknxa )(，所以10()n n kkkykax nkn0111 1()()kn kkn nCaxn xa 例例 2 2 已知y(x1)2，用定义法求y 求y2x23x4232 xx的导数 已知函数f(x)21ax ，且f (1)2，求a的值分析：分析：对于运用导数的定义，即y 0lim xy x ，即可解决；对于可应用(uv)vu以及1()xx解之；对于是逆向型的复合函数导数运算问题，用xu
13、xyyu及方程思想即可解决解析：解析： y 0lim xy x 2200(1)(1)limlim(22) xxxxxxxx 2x2 由法则，即得y4x32334 xx ( )fx21(ax21)1 22ax，即f (1)a(a1)1 22，解得a2二、切线问题二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中： 曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的斜率k，倾斜角为，则 tank0()fx 其切线l的方程为：yy00()fx(xx0)若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)的切线平行于y轴(即导数不
14、存在)时，由切线定义知，切线方程为xx0例例 3 3 已知0a，函数), 0(,1)(xxaxxf设ax201，记曲线)(xfy 在点)(,(11xfxM处的切线为l 求l的方程； 设l与x轴交点为)0 ,(2x证明：5ax102；若ax11，则axx121 解：解：求)(xf的导数：21)(xxf，由此得切线l的方程：)(1)1(12 11xxxxaxy 证明证明：依题意，切线方程中令y0，axaxxxaxxx20)2()1 (1111112，其中. 由aaxaxxaxxxax1)1(, 0),2(,202 1221121及有axaxax11,10212时，当且仅当.axxaxxxaxax1
15、)2(112111211，且由，因此，时，当axx121所以例例 4 4 设0a，cbxaxxf2)(，曲线)(xfy 在)(,(00xfxP处切线的倾斜角的取值范围是4, 0，则P到曲线)(xfy 对称轴距离的取值范围是（A）1, 0a（B）21, 0a（C）|2| , 0ab（D）|21| , 0ab 解：解：( )fx2axb，故点)(,(00xfxP处切线斜率k2ax0btan0，1，于是点P到对称轴x2b a的距离d|x0(2b a)|02 2axb a21, 0a，故选(B)三、单调性问题三、单调性问题一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导如果f (x)0，则f(x)为增函数；如果f (x)0，则f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参
