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1、版权所有:中国好课堂 二用数学归纳法证明不等式对应学生用书 P421利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由 nk 成立，推导 nk1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行2归纳猜想证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法对应学生用书 P42利用数学归纳法证明不等式例 1 证
2、明：2n2n2，nN.版权所有:中国好课堂 思路点拨 验证n1，2，3 时，不等式成立假设nk成立， 推证nk1nk1成 立，结论得证证明 (1)当 n1 时，左边2124；右边1，左边右边；当 n2 时，左2226，右224，所以左边右边；当 n3 时，左23210，右329，所以左边右边因此当 n1,2,3 时，不等式成立(2)假设当 nk(k3 且 kN)时，不等式成立当 nk1 时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因 k3，则 k30，k10)k22k1(k1)2.所以 2k12(k1)2.故当 nk1 时，原不等式也成立根据(
3、1)(2)，原不等式对于任何 nN 都成立数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由 nk 到 nk1 时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明版权所有:中国好课堂 不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程1用数学归纳法证明： (n2，nN)1n11n213n56证明：(1)当 n2 时，左边 ，不等式成立1314151656(2)假
4、设当 nk(k2，kN)时，不等式成立即 .当 nk1 时，1k11k213k56 1k111k1213k13k113k213k156 .(13k113k213k31k1)56(3 13k31k1)56当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，原不等式对一切 n2，nN均成立2用数学归纳法证明：1Qn.若 x0，则 PnQn.若 x(1,0)，则 P3Q3x30(nN)，对任意自然数 n1和 n2总有 f(n1n2)f(n1)f(n2)，又 f(2)4.(1)求 f(1)，f(3)的值(2)猜想 f(n)的表达式，并证明你的猜想思路点拨 利用 f(n1n2)f(n1)f(n2)可求出 f(
5、1)，f(3)再猜想 f(n)，利用数学归纳法给出证明解 (1)由于对任意自然数 n1和 n2，总有 f(n1n2)f(n1)f(n2)取 n1n21，得 f(2)f(1)f(1)，即 f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取 n11，n22，得 f(3)23.(2)由 f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想 f(n)2n.证明：当 n1 时 f(1)2 成立；假设 nk 时，f(k)2k成立f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当 nk1 时，猜想也成立由知猜想正确，即 f(n)2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点
6、进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明版权所有:中国好课堂 4在数列an、bn中，a12，b14，且 an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4的值，由此猜测an，bn的通项公式；(2)证明你的结论解：(1)由条件得 2bnanan1，abnbn1.2n1由此可得 a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测 ann(n1)，bn(n1)2.(2)用数学归纳法证明：当 n1 时，由上知结论成立假设当 nk 时，结论成立即 akk(k1)，bk(k1)2，那么当 nk1 时，ak12bkak
7、2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.a 2k1bk所以当 nk1 时， 结论也成立由，可知 ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立5是否存在常数 a，b，c 使等式 122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切 nN都成立，若存在，求出 a，b，c 并证明；若不存在，试说明理由解：假设存在 a，b，c 使 122232n2(n1)22212an(bn2c)，对于一切 nN都成立当 n1 时，a(bc)1；当 n2 时，2a(4bc)6；当 n3 时，3a(9bc)19.版权所有:中国好课堂 解方程组Error!Error!解得Error!Error!
8、证明如下：当 n1 时，由以上知存在常数 a，b，c 使等式成立假设 nk(kN)时等式成立，即 122232k2(k1)22212 k(2k21)；13当 nk1 时，122232k2(k1)2k2(k1)22212 k(2k21)(k1)2k213 k(2k23k1)(k1)213 k(2k1)(k1)(k1)213 (k1)(2k24k3)13 (k1)2(k1)2113即 nk1 时，等式成立因此存在 a ，b2，c1 使等式对一切 nN都成立13对应学生用书 P44版权所有:中国好课堂 1用数学归纳法证明“对于任意 x0 和正整数 n，都有 xnxn2xn41xn4n1”时，需验证的
9、使命题成立的最小正整数值 n0应为( )1xn21xnAn01 Bn02Cn01,2 D以上答案均不正确解析：需验证：n01 时，x 11 成立1x答案：A2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A2 B3C5 D6解析：n 取 1,2,3,4 时不等式不成立，起始值为 5.答案：C3用数学归纳法证明“1 1)”时，由 nk(k1)不等121312n1式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项数是( )A2k1 B2k1C2k D2k1解析：由 nk 到 nk1，应增加的项数为(2k11)(2k1)2k项答案：C4若不等式对大于
10、1 的一切自然数 n 都成立，则自然数 m1n11n212nm24的最大值为( )A12 B13版权所有:中国好课堂 C14 D不存在解析：令 f(n)，取 n2,3,4,5 等值，发现 f(n)是单调递增的，所1n11n212n以f(n)min，所以由 f(2)，求得 m 的最大值为 13.m24m24答案：B5证明1)，当 n2 时要证明的式子为_n22121312n解析：当 n2 时，要证明的式子为2”时，n 的最小取值 n0为(113)(115) (112n1)2n12_解析：左边为(n1)项的乘积，故 n02.答案：27设 a，b 均为正实数(nN)，已知 M(ab)n，Nannan
11、1b，则 M，N 的大小关系为_解析：当 n1 时，MabN.当 n2 时，M(ab)2，Na22ab22，不等式成立(112)92(2)假设当 nk(k2)时不等式成立，即(12k)k2.(1121k)则当 nk1 时，有左边(12k)(k1)Error!Error!Error!Error!(12k)(12k)(k1)1k2(1121k)1k1(1121k)1(k1).k2(1121k)当 k2 时，1 1 ，(*)121k1232左边k2 1(k1) k22k1 (k1)2.k23232这就是说当 nk1 时，不等成立，由(1)、(2)可知当 n1 时，不等式成立9设数列an满足 an1a
12、 nan1，n1,2,3.2 n(1)当 a12 时，求 a2，a3，a4，并由此猜想出 an的一个通项公式；(2)当 a3 时，证明对所有的 n1，有 ann2.解：(1)由 a12，得 a2a a113，2 1由 a23，得 a3a 2a214，2 2由 a34，得 a4a 3a315.2 3由此猜想 an的一个通项公式：ann1(n1)版权所有:中国好课堂 (2)证明：用数学归纳法证明当 n1，a1312，不等式成立假设当 nk 时不等式成立，即 akk2，那么，当 nk1 时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当 nk1 时，ak1(k1)2.根据和，对于所有 n
13、1，有 ann2.10设 aR，f(x)是奇函数，a2xa22x1(1)求 a 的值；(2)如果 g(n)(nN)，试比较 f(n)与 g(n)的大小(nN)nn1解：(1)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.故 a1.(2)f(n)g(n).2n12n1nn12n2n12n1n1只要比较 2n与 2n1 的大小当 n1,2 时，f(n)2n1，f(n)g(n)下面证明，n3 时，2n2n1，即 f(x)g(x)n3 时，23231，显然成立，假设 nk(k3，kN)时，2k2k1，那么 nk1 时，2k122k2(2k1)版权所有:中国好课堂 2(2k1)2(k1)14k22k32k10(k3)，有 2k12(k1)1.nk1 时，不等式也成立，由可以判定，n3，nN时，2n2n1.所以 n1,2 时，f(n)g(n)
