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1、与与的证明及在解题中的妙用的证明及在解题中的妙用1 ( )ff xx1( )f fxx函数存在反函数的充要条件是为从 A 到 B( )(,)yf x xA yB( )yf x的一一对应。若存在反函数，且其反函数为( )(,)yf x xA yB，则有恒等式：，。1( )(,)yfx xB yA1 ( )ff xx1( )f fxx简证：设函数( )(,)yf x xA yB对任意，有点在的图像上，且点关xA,( )x f x( )yf x,( )x f x于直线的对称点为yx( ),f x x由互为反函数的两函数的性质可知：点必在其反函数( ),f x x上1( )(,)yfx xB yA故有
2、1 ( )ff xx()xA同理可证，对，有xB 1( )f fxx()xB这两个关系式，如实反应了互为反函数的两个函数之间自变量与函数值的特殊关系，如能准确把握，可对解题起到事半功倍之效。一.解图像问题例 1.若函数其反函数为，则函数与函数( )yf x1( )yfx( )yf x的图像（ ）1( )yfx A.关于 轴对称 B.关于原点对称xC.关于直线对称 D.关于直线对称yxyx 解析：将等价变形，化为1( )yfx 1()yfx两边同取对应法则，得：，即f1()()fyf fxx ()xfy 原题即是判断与函数的图像关系。而函数()xfy ( )yf x可看成函数通过以下变换得到：分
3、别以代换()xfy ( )yf x, yx中的，所以函数与函数的图像关于( )yf x, x y( )yf x1( )yfx 对称。yx 例 2.已知函数的反函数为，将函数经过怎样( )yf x1( )yfx( )yf x的变换，可得到函数的图像（ ）1(1)2xfyA.作函数关于直线的对称图形，再向左平移 2 个单位。 ( )yf xyxB.先将函数的图像右移 2 个单位，再下移 1 个单位，最后做( )yf x关于的对称图像。yxC.先将函数图像右移 2 个单位，再下移 1 个单位。( )yf xD.先将函数的图像左移 2 个单位，再上移 1 个单位。( )yf x解析：将等价变形，化为，
4、1(1)2xfy1(1)2xfy12(1)xfy两边同取对应法则，得：，即，它的图f(2)1f xy(2) 1yf x像与完全相同，故选 C。1(1)2xfy二.求抽象函数的反函数求抽象函数的反函数，因为没有具体的函数表达式，所以不能按照求具体函数（有表达式）的一般方法求其反函数，但无论是具体函数还是抽象函数，求其反函数的关键乃是：1.将变成（或将f1f变成） ；2.交换的位置；3.写出定义域，故可利用上述关系1ff, x y求抽象函数的反函数。例 3.若函数是的反函数，则的反函数的解1( )yfx( )yf x(2)yf x析式为（ ）A. B. 1(2)yfx1( )2yfxC. D. 1
5、(2)yfx1( )2yfx解析：对两边同取对应法则，得：，即(2)yf x1f1( )2fyx，互换得，即为所求函数解析式。1( )2xfy, x y1( )2yfx例 4.若函数的反函数的图像与函数的图像图像对( )yf x( )yg x, a b称，则的反函数的解析式为（ ）( )yg xA. B. ()yf xab2(2)ybfaxC. D. ()yf xba2(2)yafbx解析：由与的图像关于点对称，可求出，1( )fx( )yg x, a b( )yg x再用恒等式求其反函数。本题即是求与关于点对称的1( )yfx, a b函数的反函数问题。关于点对称的函数解析式即以代换1( )
6、yfx, a b2,2axby中的，得，两过同取对应法则得1( )yfx, x y12(2)byfaxf，(2)2fbyax互换的位置得即为所求。, x y2(2)yafbx三.求函数的值例 5.已知函数，若与的图像关于直23( )1xyf xx( )yg x1(1)yfx线对称，求的值。yx(3)g解析：如按照一般的解题思路我们有以下过程：，运算过程复杂11( )( )(1)( )(3)yf xyfxyfxyg xyg且易出错，若由关系式直接求出的反函数表1( )f fxx1(1)yfx达式（即）后求值，则可以大大减小运算量，而且过程简洁( )yg x明了。由两边同取对应法则得：，将互换1(1)yfxf( )1f yx, x y得的反函数的表达式，故有1(1)yfx( )( ) 1g xyf x7(3)(3) 12gf
