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1、07. 直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程直线和圆的方程 知识要点知识要点知识要点知识要点一、直一、直线线方程方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是)0(1800ppoo.注：当o90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线 都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点), 0(),0
2、,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，直线方程是：1by ax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都
3、会导致结论 的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y轴上的纵截距是21,bb，则1l212kkl，且21bb 或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC ）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在. 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在. （即01221BABA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交
4、点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是), 0(，当o90时 2112 1tankkkk .两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是 2, 0，当o90，则有2112 1tankkkk .5. 过两直线 0:0:22221111 CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl, 0:到l的距离为d，则有2200BACBy
5、Axd .注：1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：2 122 1221)()(|yyxxPP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：22|OPxy2. 定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段1212PPPPPPuuu ruuu r所成的比为即,其中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0180）、斜率:tank4.过两点1212 222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：. 12()xx当2121,yyxx（即直线和 x 轴垂直）时，直
6、线的倾斜角90，没有斜率新疆学案王新敞两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有 2221BACCd .注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm).2. 与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注： 该直
7、线系不含 l2.7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对 称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分 线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两 对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0.
8、 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. 二、二、圆圆的方程的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x
9、,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax ),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax ),(),(,babaar或圆心与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax ),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022FEyDxyx .当0422fFED时，方程表示一个圆，其中圆心 2,2EDC，半径2422FE
10、Dr.当0422FED时，方程表示一个点 2,2ED.当0422pFED时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参数方程： sincos rbyrax（为参数）.方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且0422fAFED.圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()( :rbyaxC.M在圆C内22 02 0)()(rbyaxpM在圆C上22 02 0)()rbyax （M在圆C外22 02 0)()(rbyaxf5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C：)
11、0()()(222frrbyax； 直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离 22BACBbAad .rd 时，l与C相切；附：若两圆相切，则 002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.rd p时，l与C相交； 附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD.rd f时，l与C相离. 附：若两圆相离，则 002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组 0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别
12、式为，则：l0与C相切；l0f与C相交；0:0:22222 211122 1 FyExDyxCFyExDyxCl0p与C相离.注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线.6. 圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：02200 00FyyExxDyyxx.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为2 00ryyxx.若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a
13、,b)则 1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O的方程022FEyDxyx 又以 ABCD 为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxAA 4)()(22 2byaxRAA，所以 BC 的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）； 2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性
14、）。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定 系数法.ABC D(a,b)高中数学第八章高中数学第八章-圆锥圆锥曲曲线线方程方程考试内容：考试内容： 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质 考试要求：考试要求： （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 （4）了解圆锥曲线的初步应用08. 圆锥圆锥曲曲线线方程方程 知知识识要点要点一、一、椭圆椭圆方程方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPFpf椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在 x 轴上：)0( 12222 ff ba byax. ii. 中心在原点，焦点在y轴上：)0( 12222 ff
