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1、递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此 在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为 N 的问题，设法将它分解成规模 较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也 能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模 较大问题的解。特别地，当规模 N=1 时，能直接得解。 【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项函数 fib（n） 。 斐波那契数列为：0、1、1、2、3、，即： fib(0)=0; fib(1)=
2、1; fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当 n1 时） 。 写成递归函数有： int fib(int n) if (n=0) return 0; if (n=1) return 1; if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为 n） 的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于 n）的求解。例如上例中，求解 fib(n)，把 它推到求解 fib(n-1)和 fib(n-2)。也就是说，为计算 fib(n)，必须先计算 fib(n-1)和 fib(n-2)，而计算 fib(n-1)
3、和 fib(n-2)，又必须先计算 fib(n-3)和 fib(n-4)。依次类推， 直至计算 fib(1)和 fib(0)，分别能立即得到结果 1 和 0。在递推阶段，必须要有终止递归 的情况。例如在函数 fib 中，当 n 为 1 和 0 的情况。 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到 fib(1)和 fib(0)后，返回得到 fib(2)的结果，在得到了 fib(n-1)和 fib(n-2)的结果 后，返回得到 fib(n)的结果。 在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入 “简单问题”层时，原来层次上的参数
4、和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层， 它们各有自己的参数和局部变量。 由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率 相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如 上例计算斐波那契数列的第 n 项的函数 fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两 项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第 n 项。 【问题】 组合问题 问题描述：找出从自然数 1、2、n 中任取 r 个数的所有组合。例如 n=5，r=3 的所有 组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1 （4）5、3、2 （5
5、）5、3、1 （6）5、2、1 （7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1 （10）3、2、1 分析所列的 10 个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为 void comb(int m,int k)为找出从自然数 1、2、m 中任取 k 个数的所有组合。当组合 的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的 m-1 个数中取 k-1 数的组合。这就将求 m 个数 中取 k 个数的组合问题转化成求 m-1 个数中取 k-1 个数的组合问题。设函数引入工作数组 a 存放求出的组合的数字，约定函数将确定的 k 个数字组合的第一个数字放在 ak中， 当一个组合求出后，才将
6、a 中的一个组合输出。第一个数可以是 m、m-1、k，函数 将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继 续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数 comb。 【程序】 # include # define MAXN 100 int aMAXN; void comb(int m,int k) int i,j; for (i=m;i=k;i-) ak=i; if (k1) comb(i-1,k-1); else for (j=a0;j0;j-) printf(“%4d”,aj); printf(“n”); void mai
7、n() a0=3; comb(5,3); 【问题】 背包问题 问题描述：有不同价值、不同重量的物品 n 件，求从这 n 件物品中选取一部分物品的选择方 案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。 设 n 件物品的重量分别为 w0、w1、wn-1，物品的价值分别为 v0、v1、vn-1。采用 递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案 于数组 option ，该方案的总价值存于变量 maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况 保存于数组 cop 。假定当前方案已考虑了前 i-1 件物品，现在要考虑第 i 件物品；当前 方案已包含
8、的物品的重量之和为 tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到 的总价值的期望值为 tv。算法引入 tv 是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案 的总价值 maxv 时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下 一个方案。因为当方案的总价值不比 maxv 大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。 对于第 i 件物品的选择考虑有两种可能： （1） 考虑物品 i 被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。 选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。 （2） 考虑物品 i 不被选择，这种可能性仅当不包含物品
9、 i 也有可能会找到价值更大的方 案的情况。 按以上思想写出递归算法如下： try(物品 i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值 tv) /*考虑物品 i 包含在当前方案中的可能性*/ if(包含物品 i 是可以接受的) 将物品 i 包含在当前方案中； if (i # define N 100 double limitW,totV,maxV; int optionN,copN; struct double weight; double value; aN; int n; void find(int i,double tw,double tv) int k; /*考虑物品 i 包含在
10、当前方案中的可能性*/ if (tw+a.weightmaxV) if (i # define N 100 double limitW; int copN; struct ele double weight; double value; aN; int k,n; struct int flg; double tw; double tv; twvN; void next(int i,double tw,double tv) twv.flg=1; twv.tw=tw; twv.tv=tv; double find(struct ele *a,int n) int i,k,f; double max
11、v,tw,tv,totv; maxv=0; for (totv=0.0,k=0;k=0) f=twv.flg; tw=twv.tw; tv=twv.tv; switch(f) case 1: twv.flg+; if (tw+a.weightmaxv) if (in-1) next(i+1,tw,tv-a.value); i+; else maxv=tv-a.value; for (k=0;kn;k+) copk=twvk.flg!=0; break; return maxv; void main() double maxv; printf(“输入物品种数n”); scanf(“%d”, printf(“输入限制重量n”); scanf(“%1f”, printf(“输入各物品的重量和价值n”); for (k=0;kn;k+) scanf(“%1f%1f”, maxv=find(a,n); printf(“n 选中的物品为n”); for (k=0;kn;k+) if (optionk) printf(“%4d”,k+1); printf(“n 总价值为%.2fn”,maxv);
