大学导数的应用

《大学导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学导数的应用（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第 3 章 微分中值定理与导数的应用3.1.1 罗尔定理 定理定理 3.13.1 如果函数满足：( )yf x(1) 在闭区间上连续； , a b(2) 在开区间内可导；( , )a b(3) ( )( )f af b那么，在内至少存在一点，使得( , )a b( )0f这就是罗尔罗尔( () )定理定理RolleyOxabC( )yf x AB图图这个定理的几何解释如图所示，如果连续曲线在开区间内的每一点( )yf x( , )a b 处都存在不垂直于轴的切线，并且两个端点、处的纵坐标相等，即连结两端点的xAB 直线平行于轴，则在此曲线上至少存在一点，使得曲线在点ABx( ( )Cf,( )

2、yf x处的切线与轴平行Cx 3.1.2 拉格朗日中值定理 定理定理 3.23.2 如果函数满足：( )yf x(1) 在闭区间上连续； , a b(2) 在开区间内可导( , )a b那么，在内，至少存在一点，使得( , )a b （3-1）( )( )( )f bf afba 也可以写成 ( )( )( )()f bf afba这就是拉格朗日拉格朗日( () )中值定理中值定理在此定理中，如果区间的两个端点处Lagrange , a b 的函数值相等，就变成了罗尔定理也就是说，罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况 拉格朗日定理的几何解释如图 3-2 所示，若是闭区间上的连续曲线( )yf x

3、, a b第 2 章 导数的应用 69弧段，连接点和点的弦的斜率为，而弧段AB( , ( )A a f a( , ( )B b f bAB( )( )f bf a ba 上某点的斜率为定理 3.2 的结论表明：在曲线弧段上至少存AB( , ( )Cf( )fAB在一点，使得曲线在点处的切线与曲线的两个端点连线平行( ( )Cf,CABOxyCAB( )yf xab图图 3-23-2拉格朗日定理有两个推论： 推论推论 1 1 如果在区间内，函数的导数恒等于零，那么在区间( , )a b( )yf x( )fx内，函数是一个常数( , )a b( )yf x证明证明 在区间内任取两点，在上，用拉格

4、朗日中值定( , )a b1212, ()xxxx12 , xx理，有2121()()( )()f xf xfxx12()xx由于函数的导数恒等于零，所以( )yf x( )fx21()()f xf x这说明在区间内，函数的在任何两点处的函数值都相等故在区间( , )a b( )yf x内，函数是一个常数( , )a b( )yf x推论推论 2 2 如果在区间内，则在区间内，与只( , )a b( )( )fxg x( , )a b( )f x( )g x 相差一个常数，即(为一常数)( )( )f xg xCC证证 令，则( )( )( )h xf xg x，( )( )( )0h xfx

5、g x由推论 1 知，为一常数，于是有( )h x(为常数)( )( )f xg xCC *3.1.3 柯西中值定理 定理定理 3.33.3 设函数与函数满足：( )f x( )g x(1) 在闭区间上连续； , a b(2) 在开区间内可导；( , )a b(3) 在区间内( , )a b( )0g x那么，在内，至少存在一点，使得( , )a b （3-( )( )( ) ( )( )( )f bf af g bg ag 第 2 章 导数的应用 702） 这就是柯西柯西( () )中值定理中值定理在此定理中，若，则其就变成了拉格朗日Cauchy( )g xx 定理，说明拉格朗日定理是柯西定

6、理的特殊情况3.2 洛必达法则重点：洛必达法则的应用。重点：洛必达法则的应用。 难点：洛必达法则的应用。难点：洛必达法则的应用。中值定理的一个重要应用是计算函数的极限.在第一章求极限时，我们经常遇到形如当(或)时，函数的分子、分母都趋近于零或都趋近于无穷大的情况.0xxx ( ) ( )f x g x对于这种函数是不能直接利用商的极限运算法则去求其极限的极限可能存在，0()( )lim( )xx xf x g x 也可能不存在通常把这种极限叫做未定式，分别简记为“”或“”型下面介绍0 0 求这类极限的一种简便且重要的方法 洛必达()法则L Hospital对于“”型的极限，有下面的法则：0 0

7、 法则法则 1 1 如果函数与函数满足：( )f x( )g x(1) ；00lim( )lim( )0 xxxxf xg x (2) 函数与在点的邻域内均可导，且；( )f x( )g x0x( )0g x(3) 存在(或为无穷大)0( )lim( )xxfx g x 那么00( )( )limlim( )( )xxxxf xfx g xg x对于“”型的极限，有下面法则： 法则法则 2 2 如果函数与函数满足：( )f x( )g x(1) ；00lim( )lim( ) xxxxf xg x (2) 函数与在点的邻域内均可导，且；( )f x( )g x0x( )0g x(3) 存在(或

8、为无穷大)0( )lim( )xxfx g x 那么第 2 章 导数的应用 7100( )( )limlim( )( )xxxxf xfx g xg x使用洛必达法则必须注意以下两点：（1）洛必达法则只适用于未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然0, 0 后再用该法则； （2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可 能存在. 有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法例如求，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的形式，因而洛必达21lim xx x法则对它失效，事实上2211limlim11 xxx xx 3.3 函数的单调

9、性与极值3.3.1 函数的单调性 函数的单调性是函数的一个重要性态，它反映了函数在某个区间随自变量的增大而增 大（或减少）的一个特征.但是，利用单调性的定义来讨论函数的单调性往往是比较困难 的.本节利用导数符号来研究函数的单调性 由图 3-3 可以看出，当函数在上是单调增加时，其曲线上任一点的( )yf x , a b 切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率都是正的，由导数的几何意义知道，此时，曲线 上任一点的导数都是正值，即0( )fx由图 3-4 可以看出，当函数在上是单调减少时，其曲线上每一点的( )yf x , a b 切线的倾斜角都是钝角，因此它们的斜率都是负的，此时，曲线上任一点的导

10、数都是负值， 即0( )fxOxyAB( )yf xab OxyAB( )yf xab图图 3-33-3 图图 3-43-4定理定理 3.43.4 设函数在内可导，则( )yf x( , )a b(1) 如果在内，那么函数在内单调增加；( , )a b( )0fx( )yf x( , )a b(2) 如果在内，那么函数在内单调减少( , )a b( )0fx( )yf x( , )a b第 2 章 导数的应用 72注注 在区间内个别点处导数等于零，不影响函数的单调性如幂函数，其导数3yx在原点处为，但它在其定义域内是单调增加的23yx0(, ) 3.3.2 函数的极值极值的概念如图 3-5 所

11、示，函数在点的函数值比它左右近旁的函数值都大，而在点的函数1x2x值比它左右近旁的函数值都小，对于这种特殊的点和它对应的函数值，我们给出如下定义：定义定义 3.13.1 设函数在区间内有定义，是内的一个点( )f x( , )a b0x( , )a b(1) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函0x0()x xx0( )()f xf x0()f x数的一个极大值极大值，点称为的一个极大值点极大值点( )f x0x( )f x(2) 如果对于点近旁的任一点，都有，那么称为函0x0()x xx0( )()f xf x0()f x数的一个极小值极小值，点称为的一个极小值点极小值点( )f x0x

12、( )f x函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值极值 点点yxab2x O3x4x1x( )yf x图图 3-53-5如图 3-5 中的和是函数的极大值点，和是函数极大值；1x3x( )f x1()f x3()f x( )f x和是函数的极小值点，和是函数的极小值2x4x( )f x2()f x4()f x( )f x注意注意 (1) 极值只是一个局部概念，它仅是与极值点邻近的函数值比较而言较大或较 小的，而不是在整个区间上的最大值或最小值函数的极值点一定出现在区间的内部，在 区间的端点处不能取得极值； (2) 函数的极大值与极小值可能有很多个，极大值不

13、一定比极小值大，极小值不一定 比极大值小； (3) 函数的极值可能取在导数不存在的点函数极值的判定从图 3-5 可以看出，曲线在点、取得极值处的切线都是水平的，即在1x2x3x4x极值点处函数的导数等于零对此，我们给出函数存在极值的必要条件：( )f x定理定理 3.53.5 如果函数在点处可导且取得极值，那么( )f x0x0()0fx使得函数的导数等于零的点(即方程的实根)，叫做函数的驻驻( )f x( )0fx ( )f x 点点第 2 章 导数的应用 73定理 3.5 说明，可导函数的极值点必定是它的驻点，但是，函数的驻点不一定是它的极值点例如点是函数的驻点，但不是极值点所以定理 3.

14、5 还不能解决所0x 3yx 有求函数极值的问题但是，定理 3.5 提供了寻求可导函数极值点的范围，即从驻点中去 寻找还要指出连续但不可导点也可能是其极值点，如，在处连续，但( ) |f xx0x 不可导，而是该函数的极小点0x 判断驻点是否是极值点，我们有如下定理： 定理定理 3.63.6 设函数在点的近旁可导，且( )f x0x0()0fx(1) 如果当时，；当时，那么是极大值点，0xx( )0fx0xx( )0fx0x是函数的极大值；0()f x( )f x(2) 如果当时，；当时，那么是极小值点，0xx( )0fx0xx( )0fx0x是函数的极小值0()f x( )f x(3) 如果在点的左右两侧，同号，那么不是极值点，函数在点处0x( )fx0x( )f x0x没有极值 图 3-6 分别显示了以上三种情形：Oxy0()0fxab0x( )0fx( )0fxOxy0()0fxab0x( )0fx( )0fxOxy0()0fx0x(1) (2) (3)图图 3-63-6根据定理 3.5 和定理 3.6，可得到求函数极值点和极值