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1、关于关于 函数与函数与 函数的关系及应用函数的关系及应用问题问题 1 1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？：欧拉函数是什么东西？如何定义的？答：答： 欧拉函数是函数与函数的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别称为函数与函数。即：(1)(s)10sxxe dx(2)(p,q)1110(1)pqxxdx(1)式称为伽马函数， （2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，函数与函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数问题问题 2 2： 函数与函数与 函数的定义域是什么？函数的定义域是什么？ 答：（一）答：（一） 、 函数的定义域：函数的定义域：的定义域为的定义域为. .(s)0s 事
2、实上， （1）当时，不是被积函数的瑕点，因此取都有s10x 1p ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛1lim()0psxxxxe（2）当时，是被积函数的瑕点，此时，有s0，00s (s)10sxxe dx120( )()sxsxelnxdx因此 的图形位于 轴上方且凸的 又因为 (s)s=1，=1，所以，。 0(1)xe dx(2)1 (1) (1)(2) 因此在上有唯一的一个极小值点落在之间( ) s0s 0x(1,2)问题问题 4 4： 函数还有其它的形式吗？函数还有其它的形式吗？ 答：答：函数的其他形式：在（1）式中，令，则有xpy4（，） (6)1100( )()spysspyspye
3、pdypyedy0s 0p 在（1）式中，令，则有=。2xy( ) s222(1)210022sysyyeydyyedy问题问题 5 5： 函数有些什么性质？函数有些什么性质？答：答：函数具有如下性质：（1 1）函数的连续性函数的连续性事实上，对任何，有，而00pp00qq11(1)pqxx0011(1)pqxx收敛，所以由附录中的定理 5，在， 001110(1)pqxxdx( , )p q0pp 上一致连续，故而在内连续0qq ( , )p q(0,)(0,)（2 2）函数的可微性函数的可微性在内可微且存在任意阶连续偏导数( , )p q(0,)(0,)考虑积分11111100(1)(1)
4、lpqpqxxdxxxnx当，时，恒有00pp00qq， （）11(1)pqxxInx0011(1)pqxxInx01x而收敛，故积分当，时一致001110(1)lnpqxxx dx1110(1)pqxxdx0pp0qq收敛因此当，时可在积分下求导，得0pp0qq并且是，上的连续函数1110( , )(1)lnpq pp qxxxdx( , )pp q0pp0qq同理 是域上的二元函数，且当可在积分下求导得 ( , )pp q0,0pq0,0pq。1110( , )(1)ln(1)pq qp qxxx dx完全类似地用数学归纳法可证在域上存在连续偏导数，且( , )nin ip q p q 0
5、,0pq5=。( , )nin ip q p q 1110(1)(l ) (l (1)pqin ixxnnxdx（3 3）函数的对称性函数的对称性 ( , )( , )p qq p （4 4）递推公式）递推公式 = =（）( , )p q1( ,1)1qp qpq0,1pq（）1110( , )(1)pqp qxxdx10(1)pp quduu1uxu（当时）1101(1)1pp qudupq 1p 2101( 1)(1)1(1)pp qupdupqu 21011(1, )1(1)1pp qpupdupqpqupq 由对称性可证(1)(1)( , )(1,1)(1)(2)qpp qpqpqpq
6、特别对正整数，。,m n( , )m n(1)!(1)! (1)!nm mn 问题问题 6 6： 函数还有其它的形式吗？函数还有其它的形式吗？ 答：答：函数的其他形式：（令）21212 0( , )2sincosqpp qd 2cosx（）10( , )(1)pp qup qduu1uxu进而将此积分拆成，两段积分，后者作变换，仍把 写成，则有 0,11)，1uttu6。1110( , )(1)pquup qduu pq问题问题 7 7： 函数与函数与 函数有怎样的关系？函数有怎样的关系？ 答：答：函数与函数有下面的关系：（1） ( ) ( )( , )()pqp qpq(0,0)pq事实上，
7、当时，由（6）有，从而0,0pq10( )pty ppyedyt1100( ) ( )qpxypqxe dxye dy1100( )ptyqytyeydyye dy11(1)00pp qyttdtyedy 1 1(1)00(1)(1)(1)p p qt y p qtdttedt yt ，( , ) ()p qpq 故有，故有， 。( ) ( )( , )()pqp qpq（2 2） （余元公式）（余元公式） ( ,1)sinppp （3 3） （倍元公式）（倍元公式） 2121(2 )( ) ()2 0问题问题 8 8：能否举一些：能否举一些 函数与函数与 函数应用的例子？函数应用的例子？ 答
8、：答： 下面是几个关于函数与函数应用的例子：（1 1）用余元公式计算）用余元公式计算的值：的值：1( )2解： 。111( )( ) ( )222sin27（2）求 。10sin()1 cos1cosdIk0k1解：由公式，令，则sin 21 costg 2ttg， 111sin()()1 cos2tgt 221cos1t t22 1dtdt1 1 22200212211(1)(1)11tItdtdtttkk tkt 1021()2111()()11111 ()1ktkkkdtkkkktk 令，则，1 12kttgk1011()112kItgdkk令，2u12 021()11kItgudukk
9、 2.12(1) 112222 0022sincos(,1)22sin2tguduuuduB 11()11sin2kIkk （3 3）函数在积分不等式中的应用：函数在积分不等式中的应用：例 1 已知，正整数，证明：.01h3n 3 22 01()2(1)2( )2nhntdthn 证明：333 112222222000(1)(1)(1)nnnt huhtdthh uduhudu .sin32 011coscos( ,)222unhnhdB 1()2 2( )2nhn 8例 2 求.12010limnnxdx解：111222 001112nn xdxttdt1111122 0112n ttdt1
10、11112,13222 2n Bn n1!12 1133 112 2222 22nnnn L L 2224 22! 21215 3 121215 3 1nnnn nnnn L L L LL L令 ， 2224 2 21215 3 1nnnxnn L L L L 21215 3 2226 4nnnynnL L L L则由于对一切自然数，有，又，故k2 21k k 21 22k k 0nnxy，即，而，由夹逼原则，2101nnnxx yn101nxn1lim01nn可知，所以 .lim0nnx 12010limnnxdx参考文献：参考文献：1裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 高等教育出版社2钱吉林 数学分析解题精粹 北京高等教育出版社3华东师大数学系 数学分析 北京高等教育出版社4东北师大数学系 常微分方程 北京高等教育出版社5周民强 实变函数 北京高等教育出版社9
