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1、第七章第七章 正交小波基的构造正交小波基的构造本章讨论在 MRA 框架下如何构造正交小波基。由于 MRA 框架既可以由尺度函数生成，也可以由生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小)(0H波基。本章中，滤波器代表高通滤波器；ng)(1nh滤波器代表低通滤波器；nh)(0nh7.1 由尺度函数构造正交小波基由尺度函数构造正交小波基1由正交尺度函数构造正交小波基，构造步骤如下：Zkkt )(（1）选择或使为一组正交基。)(t)(Zkkt )(（2）求：)(nh(7-1)(),()(kttnh或(7-2)()2()(H（3）由求：)(nh)(ng(7-3)1) 1()(nnhng或(7-4)()(
2、HeGj（4）由，构造正交小波基函数：)(ng)(t)(t(7-5)nnntgt)()(, 1或(7-6)2()2()(G例 1 Haar 小波的构造 选择尺度函数 其他, 010, 1 )(t t显然为一正交归一基，则Zkkt )( 其他, 01 , 0,21)2()(2nntxdthn由式（7-3）其他, 01,210,21) 1()(1nnhngnn可得其他, 0121, 1210, 1)(21)(21)(1 , 10, 1ttttt这就是 Haar 小波函数，其波形略。 2由尺度函数为 Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数，使它的整数平移构成一个正交系)(
3、t列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个 Riesz 基来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。Zkkt )(首先给出 Riesz 基的定义：设函数张成的空间为的 Riesz 基的充分必要条件为存在两常Zkkt )(0V数，使得对于所有都有BA, 0)()(2ZLCZkk(7-7)22 2)(kk kk kkCBktCCA可以证明式（7-7）等价于BlAl121)2()2()2(0因此我们可以定义一个，使得)()(2#RLt )()2()(21 2# ll显然，满足)(#1)2(2# ll即是正交基。且可以构成的多分辨率分析框架。由此可)(#kt )(#kt Zj
4、jV由入手，构造一个正交小波基。)(#kt 举例（略） 可以证明如下：（1）除了时（此时为 Haar 小波）例外，其他都不具有正交性，0N)(kt 因此必须实行正交化处理过程。)(#t（2）正交的及其构造的小波函数（BattleLemarie 小波函数）支)(#t)(t集都为非紧的（定义域为整个实轴） 。（3）当为偶数时，（或）关于对称，当奇数时，（或）N#21tN#关于对称。而所有 BattleLemarie 小波关于对称。并且已有学者证0t21t明和都具有指数衰减性。#7.2 紧支集正交小波基的性质和构造紧支集正交小波基的性质和构造由 MRA 理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：
5、（7-8a） Znnntnht2)(2)(（7-8b） Znnnntnht2)() 1(2)(1由上式可知，即使是支集紧的，相应的的支集未必是紧的。因此既简)(t)(t单又重要的是要求式（7-8）的右边仅包含有限项，此时只要作适当的平) 1(N移变换即可将双尺度方程写成（7-9a） Nnnntnht02)(2)(（7-9b） 112)(2)(Nnnntngt如此，若是正交 MRA 中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母)(t函数也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（7-9a）的双尺度方)(t程中的。)(t由式（7-9a）我们发现，如果先直接寻找函数，然后再来确定有限项的是不容易的。
6、相反，若有限长度的已确定，再来确定则容易些。我们先不hh考虑这样得到的是否满足多尺度分析的生成元的正交性等条件，而只考虑)(t若给定一组常数，如何由解方程（7-9a）来求得的问题。110,NhhhL)(t7.2.1 有限长双尺度方程的求解有限长双尺度方程的求解由有限长双尺度方程求解尺度函数有多种方法，下面介绍常用的两种。)(t解法解法 1 理论推求法。 由式（4-57）可知：1)2()(jjH其中为的离散傅里叶变换：)(HnhnjNnnehH021)(则 deHtjtj j 1)2(21)(这种方法看起来简单，但在具体应用时很难用数值方法求解，因此只有理论上 的价值。 解法 2 数值迭代法。
7、（略） 解法 3 解方程组法。若事先知道方程（7-9a）的解存在，且，则可简单的直)(tN)0,(t)supp接求出在所有二进小数上的值，如下：)(tmK 2N)0,supp所以或 , 0)(n0nNn 在双尺度方程（7-9a）中，令，得1, 3 , 2 , 1 , 0NtL（7-)2(2)2(2) 1(2) 1()4(2)3(2)2(2) 1(2)2()0(2) 1 (2)2(2)3(2)4(2)2()0(2) 1 (2)2(2) 1 ()0(2)0(21123432102100hNhNhNNhNhNhNhNhhhhhhhhhNNNNNNM10）此方程组在标准化条件下，有唯一解。101)(N
8、nn由式（5-11）求得后，利用双尺度方程) 1(),1 (),0(NL Nnnnkhk0)(2)2(即可求得之值。重复上述过程，即可求得一切二进小数之值)2(k)(t（其中） 。就数值计算而言，这足够了。)2(nkZn7.2.2 紧支集正交小波基的构造紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程 Nnnntht0221)(也就是构造特征多项式的方法可归结为下列步骤： Nnn nzhzH021)(1）选定一整数。 2L 2）选定一多项式，使它满足以下三式：(5-11)21()21(yRyR(5-12)10, 0)21()(yyRyyPL L其中满足)(yPL，其中 (5-13) 10
9、1)(LjLjjLyP)!( ! knkn kn (5-14)1(22)21()(supLL LyRyyP3）寻找一实系数三角多项式，使得。)(zQ)21()()(2zRzzPzQL L选取方法是：从的每四个复零点中选两个，每对实零点中选)21()(zRzzPL L一个，按照下式构造。)(zQ4）则得)()21()(zQzzH最简单的情况是取，此时是正系数多项式，所以条件)1 , 0(0yR)(yPL式（5-12）显然得到满足，且因当时，单调增加，因此，0y)(yPL(5-15) LL LL LLPyPLL12 11221 112) 1 ()(sup0,1y)1(212021221 LLkkL
10、故条件式（5-14）也得到满足。于是利用 Riesz 引理即可构作实系数三角多项式，满足120)()(Lkjn Lj LenqeQ)cos(1 (21()2(sin)(22LLjPPeQ由构作时，我们选取时，我们选取在单位圆内的根，这相应于设计LPQLP滤波器时选取最小相位。当时，的具体解析式为3 , 2L)(j LeQ)31 ()31(21)(2jjeeQ)1025101 ()101 (21025)101(41)(2 3jjjeeeQ相应的为： nh当时：2L388365163037. 0) 1 (,454829629131. 0)0(hh5511294095225. 0)3(,422241
11、438680. 0)2(hh此时的非零长度为。nh4N当时：3L1109248068915093. 0) 1 (,5008253326705529. 0)0(hh1025461350110200. 0)3(,1849144598775021. 0)2(hh.8570950352262918. 0)5(,8202670854412738. 0)4(hh此时的非零长度为。nh6N0123-202D40246-202D602468-202D80510-202D10051015-202D12051015-202D1605101520-101D20010203040-101D40图 7-1 Daubec
12、hies 尺度函数（N4，6，8，40）0123-202D40246-202D602468-202D80510-202D10051015-202D12051015-202D1605101520-202D20010203040-101D40图 7-2 Daubechies 小波函数（N4，6，8，40）当时相应的尺度方程系数见表 7-1（参考，彭 P75） ，其相应的104Lnh非零长度为，图 7-1 和 7-2 示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。LN2 对这样的紧支集小波，我们讨论一下它的一般性质。 （1） 支集大小 由式（5-15）得到不同下尺度函数的支集为L, 0 12 , 0supp
13、NLL其相应的小波母函数的支集为),1( 12),22(suppNNLLL（2） 对称性问题 尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。可以证明，除Haar 小波（其关于为反对称，其关于为对称）外，其他所有)(t21t)(t21t连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。 （3） 光滑性问题紧支集多尺度生成元的光滑性也较差。要增加的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。 （与海森堡测不准原 理是统一的） （4） 消失矩（cancellations）特性 对某些应用来说， （特别在指数计算方面） ，小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件） ，
14、而且还必须具有高阶消去性。小波的消失矩定义如下：若1, 2 , 1 , 0; 0)(MmdtttmL我们称小波具有阶消失矩。)(tM小波的消失矩特性使函数在小波展开时消去了其高阶平滑部分（也即函数 展开为多项式时的前项对应函数的光滑部分，小波系数将非常小，因此小1M 波变换将仅仅反映函数的高阶变化部分） ，使我们能研究函数的高阶变化和某些 高阶导数中可能的奇异性。 Haar 小波只具有一阶消失矩，Daubechies 连续的紧支集正交小波可具有任 意高阶消失矩，消失矩随着支集增大而增大。对于阶消失矩的 Daubechies 小L波，其的长度，并且次连续可导。)(nhLN21L附录 图 7-1,7-2 的绘制程序 close all wname=db2; phi1,psi1,xval1=wavefun(wname,7); wname=db3; phi2,psi2,xval2=wavefun(wname,7); wname=db4; phi3,
