参数估计

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1、81第七章第七章 参数估计参数估计7.17.1 参数的点估计参数的点估计 7.27.2 估计量的评选标准估计量的评选标准一、一、 填空题填空题1矩估计法是通过 参数 与 总体矩 的联系，解出参数，并用 样本矩 代替 总体矩 而得到参数估计的一种方法；2极大似然估计法是在 总体分布形式 已知情况下的一种点估计方法；3设是正态总体的一个样本，则的极大似然估计为 nXXXL2, 1),(2N ；总体方差的矩估计为 ； niiXn112 niiXXn12)(14.设为未知参数的估计量，若，则称为的无偏估12,nXXXL E计量；5设为总体的一个样本，则总体均值的无偏估计为 nXXXL2, 1X)(XE

2、；总体方差的无偏估计为 ； niiXnX11)(XD niiXXnS122)(116.设总体服从二项分布已知，是来自的样本，则X,B N pN12,nXXXLX的极大似然估计量为；pX N解 ，1iiiNxxx iNP xxC pp，1 11111n n i iiiiii innxNxnNxxxx NN iiLC ppCpp ，111lnlnlnln 1innn x Nii iiiLCxpnNxp令得到。11ln110,1nnii iidLxnNxdppp1ni ixXpnNN7.在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布a，若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，2

3、,0.2N anXn0.10.95nP Xa的最小值应不小于自然数 16。n解 ，所以 220.2,nnE Xa D Xnn20.2,nXN an :，0.10.10.1210.950.2/0.2/0.2/nXaP Xapnnn 82解得所以只需，得到。0.50.9751.96 ,n 0.51.96n 23.92n 二、二、 计算下列各题计算下列各题1. 设来自指数分布的一个样本，试求的矩估计。nXXXL2, 10,00,);()(xxexfx 解解 ，令， edxxedxxxfXEx 0)( 1XE X所以的矩估计为。Xln2.设总体的密度函数为，是取X 其它，, 0063xxx xf12,

4、nXXXL自的简单随机样本， （1）求的矩估计量；（2）求的方差。X( )D解解 （1）因为 2306,2xE Xxf x dxx dx令即，所以的矩估计量为； E XX2X2X（2）由于 3 222 3063,10xE Xx f x dxx dx 222223,10420D XE XE X所以。 221244205DDXD Xnn3.设总体服从两点分布（-分布） ，为未知参数，。XppxP,1 10 p是来自该总体的简单随机样本，试求未知参数的矩估计和极大似然估计。nXXXL2, 1p解解 (1) ，所以的矩估计； niiXnXpXE1111,)(pXp niiniiinixnxixxpxn

5、pxLxppxXPLppxXPniinii1111)1ln()(ln)(ln1, 0,)1 ()(,)1 ()(211）（。 niininiixnXpppxnxpdpLd111, 011)(1ln的极大似然估计所以4.设总体的密度函数为，其中是未知参数，X10 ,) 1();(xxxf1是来自该总体的一个简单随机样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。nXXXL2, 183解解（1）矩法 ，令21121) 1()()(101 1dxxdxxxfXE，则，所以 1XE XXX XX112211121的矩估计 ；XX 112（2）极大似然法 其它，, 0, 2 , 1, 1011nixxLiniin

6、L ，故， 011,20ixinLL当时， niixnL1ln1lnln并且令，1lnln01ni iLnx解得。 niixn1ln1的极大似然估计为5.设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的矩估计量12,nXXXL及极大似然估计量。解解 （1）总体的分布律为，因为X,0,1,!xe P Xxxx L，所以令 1011!1 !1 !xxxxxxeeeE Xxxxx，得到的矩估计量为； 1XE XX（2）样本的似然函数为，则12,nXXXL 111!ni iix xnnn ii i ieeLxx ，令，解得 11lnlnln(!)nnii iiLxnx 1ln0ni ixLn 的极大似然

7、估计量为。11ni iXXn6. 设总体其中未知，为其子样，试证下述统计量：2,NXnXXXL2, 1, ,321141 21 41XXX321231 31 31XXX321351 53 51XXX都是的无偏估计，并指明哪个估计“最好” 。31465 61XX 证证 )(41)(21)(41)(3211XEXEXEE41 21 41同理可得, 故均为的无偏估计。)()()(432EEE84又)(161)(41)(161)(3211XDXDXDD22222 83 166 161 41 161同理可得 , , , 故最好。2 231)(D2 32511)(D2 41813)(D2 7.(1)设是来

8、自总体的样本，试证12,nXXXLX10,1,2, ,1nii iinL是的无偏估计量；1nii iX()E X（2）试证在的一切形为的估计中，为最有效的。110,1nniiii iiXX证证 （1）因为，所以是的无偏111()nnniiiii iiiEXE X 1nii iX估计；(2)，下面求函数222111nnniiiii iiiDXD X在条件下的极小值点。为2 12 1,nni if L10,1,2, ,1nii iinL此令，2 12 11,;1nnnii iiF L令解得，得，120,1,2,10,i ini iFinF L1,122nii in 2 n 从而得，从而证明了最有效

9、。1,1,2,iinnLX8. 设为正态总体的一个样本，试适当选择，使nXXXL2, 12,NC为的无偏估计。2111niiiXXC2解解 112 12 1112 12 122niiiiiniiiiiXEXEXEXECXXXXCE 112222niXEEXXEC，。 XDXDnCEXXECni1221122 121 nC所以9.设是参数的两个相互独立的无偏估计，且，找出常数使21, 212DD21,kk也是的无偏估计，并且使它在所有的这种形状的估计量中方差最小。2211kk85解解 要使,只需 即2122112211)()(kkEkEkkkE121 kk可；， 22 22 122 212 12

10、2112)()(DkkDkDkkkD即求最小值，且。2 22 12minkk 121 kk设 ，令, 解得。 2 12 1112kkkf 01 kf32,3121kk10.设分别来自总体和中抽取容量为的两独立样本，其样本方2 1,N 2 2,N 12,n n差分别为，试证，对于任意常数，都是的无偏22 12,SS,1a b ab22 12ZaSbS2估计，并确定常数使达到最小。, a b D Z证证 因为对于正态分布来说，样本方差为其总体方差的无偏估计，即， 2222 12,E SE S而，所以 22222222 1212E ZE aSbSaE SbE Sabab是的无偏估计。22 12ZaS

11、bS2又因为，所以 2222 11122211 ,11nSnnSn:22 111222121 ,121DnSnDnSn，所以 22 12 1222,11D SD Snn 222222 121222221212222211111D ZD aSbSa D Sb D Sabbbnnnn由二次函数性质知，当时取最小值。这时，所以 D Z2121 2nbnn1121 2nann当，时取最小。1121 2nann2121 2nbnn D Z11.设某产品的寿命的概率密度为，X12 12 1221,0,0;,0,x exf x 其它是测得个样品的寿命，试求（1）的矩估计量；（2）的极12,nXXXLn12, 12, 大似然估计量。86解解 （1）由已知， 1 12 21121202xtx txE Xedxt e dt ， 1 12 21222 12022222 112212222xtx txE Xedxt e dt 令，解得12222 122 11ni iXXn，其中；222 2 111ninn inXXSSnXS 2 211nni iSXXn（2）似然函数，1 21111221,1,2,( ,)0,nk kxknexknL L其它所以，1221 121ln ( ,)lnnk kLnx 因为，所以是的单调增函数12ln0Ln