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1、第十八届第十八届“希望杯希望杯”全国数学邀请赛全国数学邀请赛初二初二 第二试第二试2007 年 4 月 15 日 上午 8：30 至 10：30 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，菜 40 分。 ）以下每题的四个选项中，仅 有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠 好的红丝带加紧在胸前，如图 1 所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A）正方形 （B）矩形 C）菱形 （D）梯形2、设 a、b、C 是不为零的实数，那么的值有（ ）| |abcxabc（A）3 种 （B）4
2、种 （C）5 种 （D）6 种3、的边长分别是，则是（ ABC21am21bm20cm mABC） （A）等边三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）锐角三角形 4、古人用天干和地支记序，其中天干有 10 个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有 12 个；子 丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的 10 个汉字和地支的 12 个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 从左向右数，第 1 列是甲子，第 2 列是乙丑，第 3 列是丙寅，我国的农历纪年就是按 这个顺序得来的，如公历 2007 年是农历丁亥年，那么从今
3、年往后，农历纪年为甲亥年的那 一年在公历中（ ） （A）是 2019 年， （B）是 2031 年， （C）是 2043 年， （D）没有对应的年号5、实数 a、b、m、n 满足 aN (B)M=N (C)MN (D)无法确定的。6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图 2 所示的图形，若最大的正方形的边长是 7cm，则正方形 A、B、C、D 的面积和是（ ）（A） （B） （C） （D）214cm242cm249cm264cm乙27cmDCBA7、已知关于的不等式组恰有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（ ）x230 320ax ax （A） (B) (C) (D)2 3a3 24 3a
4、3 24 3a3 24 3a3 2 8 、The number of intersection point of the graphs of function and function is( )|kyx(0)ykx k(A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量 （毫克）与时间 （小时）之间的函数关系近似满足如图 3 所示曲线，当每毫升血液中yt 的含药量不少于 0.25 毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ）（A）16 小时 （B）小时 （C）小时 （D）17 小时7158151516乙3y
5、=m/ty=ktOt乙 乙 乙 )y(乙 乙 )4321110、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足 50 人，在安排乘船时发现，每只船坐 6 人， 就剩下 18 人无船可乘；每只船坐 10 人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A）48 人 （B）45 人 （C）44 人 （D）42 人二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）11、已知o 为三边的长，则化简|+的结果是a b c ABCabc2()abc12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术” ，已知 1 毫米微米，1 微米纳米，那么 2007
6、纳米的长度用科学记数法表示为米。13、若不等式组中的未知数的取值范围是，那么（）21 23xa xb x11x 1a（）的值等于1b14、已知是彼此互不相等的负数，且123a aa2007a，122006232007()()MaaaaaaLL那么与的大小关系是122007232006()()NaaaaaaLLMNMN15、|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数 2、3、4、5 排成不同的a cb dadbc二阶行列式，则不同的计算结果有个，其中，数值最大的是。16、如图 4，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角 0。7 米，当小猫 从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了 1
7、.3 米，木板顶端向下滑动了 0.9 米，则小 猫在木板上爬动了米。17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is now.(英汉词典：age 年龄：add 加上；when 当时)18、长方体的长、宽、高分别为正整数，且满足a b c ，那么这个长方体的体积为。2006abcabbcacabc 19、已知为实数，且与都是整数，则的值是。a2 6a12 6aa20、为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文密文（
8、加密） 。现规定英文 26 个字母的加密规则是：26 年字母按顺序分别对应整数 0 到 25，例子如，英文，写a b c d 出它们的明文（对应整数 0，1，2，3） ，然后将这 4 个字母对应的整数（分别为）1.2,3,4x x x x按计算，得到密文，即四个字母对应的密文分别是1231112323xxx xxxgga b c dg g g2.3.8.9.现在接收方收到的密文为 35.42.23.12.则解密得到的英文单词为。 三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分）要求：写出推算过程 21、 （本题满分 10 分） 如图 5，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形
9、（细线型）的 中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点 C 到中心 A 的距 离为，求：a （1）大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距离 （2）大六角星形的面积 （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值 （注：本题中的六角星形有 12 个相同的等边三角形拼接而成的）22、 （本题满分 15 分） 甲、乙两车分别从 A 地将一批物品运往 B 地，再返回 A 地，图 6 表示两车离 A 地的距离 （千米）随时间 （小时）变化的图象，已知乙车到达 B 地后以 30 千米/小时的速度返回。st 请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （
10、2）甲车与乙车在距离 A 地多远处迎面相遇？ （3）甲车从 A 地返回的速度多大时，才能比乙车先回到 A 地？乙6乙乙4830O2.41.0t/乙 乙s/乙 乙23、 （本题满分 15 分） 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规 则用线段连接：在同一组的任意两点间都没有线段连接；不在同一组的任意两点间一 定有线段连接。 （1）若平面上恰好有 9 个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？ （2）若平面上恰好有 9 个点，且点数分成 2，3，4 三组，那么平面上有多少条线段？ （3）若平面上共有 192 条线段，那么平面上至少有多少个点？答案： 一、
11、选择题（每小题 4 分）题号12345678910答案CBCDACBDCA二、填空题（每小题 4 分，第 15 小题，每个空 2 分；第 19 小题，答对一个答案 2 分）题号1112131415答案2c42.007 1066;14题号1617181920答案2.516888或52 652 6 hope三、解答题21（1）连接 CO，易知AOC 是直角三角形，90 ,30ACOAOCoo所以22AOACa （2）如图 1，大六角星形的面积是等边AMN 面积的 12 倍因为 解得2222()()22AMaAM2 3 3AMa所以大六角星形的面积是212 3124 323Saaa（3）小六角星形的
12、顶点 C 到其中心 A 的距离为，大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距a离为，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的 4 倍，所以，大六角星形的面2a 积：六个小六角星形的面积和=2：322 （1）由图知，可设甲车由 A 地前往 B 地的函数解析式为skt将代入，解得 所以(2.4,48)20k 20st由图可知，在距 A 地 30 千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，30s （小时） 。即甲车出发 1.5 小时后被乙车追上301.52020st （2）由图知，可设乙车由 A 地前往 B 地函数的解析式为sptm将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得0 301.5pm pm
13、 6060pm 所以6060st 当乙车到达 B 地时，千米。代入，得小时48s 6060st1.8t 又设乙车由 B 地返回 A 地的函数的解析式为30stn 将（1.8，48）代入，得，解得4830 1.8n 102n 所以30102st 当甲车与乙车迎面相遇时，有3010220tt 解得小时 代入，得千米2.04t 20st40.8s 即甲车与乙车在距离 A 地千米处迎面相遇40.8 （3）当乙车返回到 A 地时，有 解得小时301020t3.4t 甲车要比乙车先回到 A 地，速度应大于（千米/小时）48483.42.4 23 （1）平面上恰好有 9 个点，且平均分成三组，每组 3 个点
14、，其中每个点可以与另外两组的 6 个点连接，共有线段（条）6 9272（2）若平面上恰好有 9 个点，且点数分成 2，3，4 三组，则平面上共有线段（条）12 (34)3 (24)4 (23)262 （3）设第一组有个点，第二组有个点，第三组有个点，则平面上共有线段abc（条）1 ()()()2a bcb acc ababbcac若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为(1)(1)(1)(1)1abbcacabbccaab与原来线段的条数的差是，即1ab 当时，此时平面上的线段条数不减少ab10ab 当时，此时平面上的线段条数一定减少ab10ab 由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线 段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多设三组中都有个点，则线段条数为 解得x23192x 8x 所以 平面上至少有 24 个点
