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1、2.32.3 邻域与邻域系邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理 2.3.1）我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映 射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性然而对于拓扑空间的映射而 言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在2.2 中做好了；现在轮到给出映 射在某一点处的连续性的定义了在定理 2.1.4 中我们已经发现，为此只要有一个适当的 称之为“邻域”的概念，而在2.1 中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”因此我 们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后
2、再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念 的给出一点也不会使我们感到突然定义 2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，xX如果 U 是 X 的一个子集，满足条件： 存在一个开集 VP使得 xVU，则称 U 是点 x 的一个邻域点 x 的所有邻域构成的 x 的 子集族称为点 x 的邻域系易见，如果 U 是包含着点 x 的一个开集，那么它一定是 x 的一 个邻域，于是我们称 U 是点 x 的一个开邻域首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导 出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按2.1 中的定义或者是按这里 的定义，都是一回事定理定理 2.3.1
3、2.3.1 拓扑空间拓扑空间 X X 的一个子集的一个子集 U U 是开集的充分必要条件是是开集的充分必要条件是 U U 是它的每一点的是它的每一点的 邻域，即只要邻域，即只要 xUxU，U U 便是便是 x x 的一个邻域的一个邻域证明 定理中条件的必要性是明显的以下证明充分性如果 U 是空集，当然 U 是一个开集下设 U根据定理中的条件，使得故 U=，根据拓扑的定义，U 是一个开集定理 2.3.2 概括了邻域系的基本性质定理定理 2.3.22.3.2 设设 X X 是一个拓扑空间记是一个拓扑空间记为点为点 xXxX 的邻域系则：的邻域系则：（1 1）对于任何）对于任何 xXxX，；并且如果
4、；并且如果 UU，则，则 xUxU；（2 2）如果）如果 U U，VV，则，则 UVUV；（3 3）如果）如果 UU并且并且 U UV V，则，则 VV；（4 4）如果）如果 UU，则存在，则存在 VV满足条件：满足条件：(a)V(a)VU U 和和(b)(b)对于任何对于任何 yVyV，有，有VV证明（1）X,XP,X,且由定义,如果U，则 xU（2）设 U，V则存在 UP和P使得和成立从而我们有,T,UV（3）设 U，并且（4）设 U令 VP满足条件V 已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在 点集
5、拓扑发展的早期常被采用这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概 念出发定义拓扑来得简洁定理定理 2.3.32.3.3 设设 X X 是一个集合又设对于每一点是一个集合又设对于每一点 xXxX 指定了指定了 x x 的一个子集族的一个子集族，并且它们满足定理并且它们满足定理 2.3.22.3.2 中的条件（中的条件（1 1）（）（4 4）则）则 x x 有惟一的一个拓扑有惟一的一个拓扑 T T 使得对于使得对于每一点每一点 xXxX，子集族，子集族恰是点恰是点 x x 在拓扑空间（在拓扑空间（X X，P P) )中的邻域系中的邻域系(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的
6、连续性的概念推广到拓扑空间之间 的映射中去定义 2.3.2 设 X 和 Y 是两个拓扑空间，f:XY，xX如果f（x）Y 的每一个邻域 U 的原象（U）是 xX 的一个邻域，则称映射 f 是一个在点x 处连续的映射，或简称映射 f 在点 x 处连续与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也 明显地是受到了2.1 中的定理 2.1.4 的启发并且该定理也保证了：当 X 和 Y 是两个度 量空间时，如果 f: XY 是从度量空间 X 到度量空间 Y 的一个映射，它在某一点 xX 处连 续，那么它也是从拓扑空间 X 到拓扑空间 Y 的一个在点 x 处连续的映射；反之亦
7、然这里我们也有与定理 2.2.l 类似的定理定理定理 2.3.42.3.4 设设 X X，Y Y 和和 Z Z 都是拓扑空间则都是拓扑空间则（1 1）恒同映射）恒同映射：XXXX 在每一点在每一点 xXxX 处连续；处连续；（2 2）如果）如果 f f：XYXY 在点在点 xXxX 处连续，处连续，g g：YZYZ 在点在点 f f（x x）处连续，则）处连续，则 gofgof：XZXZ 在在 x x 处连续处连续证明请读者自己补上以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系定理定理 2.3.52.3.5 设设 X X 和和 Y Y 是两个拓扑空间，是两个拓扑空间，f f：XYXY则映射则映射 f f 连续当且仅当对于每连续当且仅当对于每 一点一点 xXxX，映射，映射 f f 在点在点 x x 处连续处连续证明必要性：设映射 f 连续，这证明 f 在点 X 处连续充分性：设对于每一点 xX，映射 f 在点 x 处连续这就证明了 f 连续作业作业: :掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法
