多维随机变量－金锄头文库

资源描述

《多维随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多维随机变量（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第第 3 3 章章多维随机变量多维随机变量-3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.分布函数的定义设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)是任意实数对，记Xx，Yy=XxYy,称二元函数 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的联合分布函数；X 与 Y 的分布函数和分别)x(Fx)y(Fy称为(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布函数，且有，)y, x(F)x(Flim yx 。)y, x(F)y(Flim xy 随机点(X,Y)落入矩形 D=(x,y):内的概2121yyy,xxx率为P=F()-F()-F()+F()2121yyy,xxx22y,x12y,x21y,x11y,x2.

2、二维联合分布函数的性质（1）F(x,y)分别对 x,y 单调不降，即有当时，F() F()对一切 y R 成立21xx y,x1y,x2当时，F() F()对一切 x R 成立21yy 1y, x2y, x（2）对每一个变量 F(x,y)是右连续的，即有，对一切 y R 成立)y,x(F)y, x(F0 xxlim0，对一切 x R 成立)y, x(F)y, x(F0 yylim0（3）F(x,y)是非负有界函数：0F(x,y)1,而且有，0)y, x(Flim x 0)y, x(Fmli y 1)y, x(Flimyx（4）对于任意实数，有21xx 21yy 0)y,x(F)y,x(F)y

3、,x(F)y,x(F11211222若二元函数 F(x,y)满足上述四条性质，则一定存在二维随机变量(X,Y)以 F(x,y)为联合分布函数3.二维离散型随机变量定义二维随机变量(X,Y)所有可能取值为有限对或可列无穷对：(,),i=1,2,.,记ixiy(i,j=1,2,.)【(X,Y)的联合分布律】ijiipyY,xXP满足以下条件：（1）（i,j=1,2,.）0pij（2）1i1jij1p则称(X,Y)为二维离散型随机变量4.二维离散型联合分布律（1）随机变量(X,Y)的联合分布函数为 xxyyijiipy, xF）（2）随机变量 X 与 Y 的分布律为X 的边缘分布律（i=1,2,.

4、）1jijiippxXPY 的边缘分布律（j=1,2,.）1iijjippyYP通常我们习惯用标的形式给出二维离散型随机变量的联合分布律X Y1y2y.jy. ip1x11p12p.j1p.1p2x21p22P.j2p.2p.ix1 ip2ip.ijp. ip.jp1p2p.jp.1注：联合分布律可以完全确定 X,Y 的边缘分布律，但反过来 X,Y 的边缘分布律不可以确定联合分布律。5.联合概率密度二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y),如果存在函数 f(x,y)0,使得对任意实数对(x,y)有 xydudv)v, u(f)y, x(F则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数

5、 f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度6.联合概率密度的性质（1）处处成立0)y, x(f（2） -1dxdy)y, x(f凡是满足这两个性质的二元函数 f(x,y)必为某个二维随机变量的联合概率密度（3）若，则有2RG Gy)df(x,GY)(X,P（4）随机变量 X,Y 的概率密度分别为关于 X 的边缘概率密度 x Rdy)y, x(f)x(fX关于 Y 的边缘概率密度 y Rdx)y, x(f)y(fY（5）若 f(x,y)在(x,y)处连续，则)y, x(fyx)y, x(F2 7.二维随机变量的几个分布（1）二维离散型随机变量二维两点分布设随机变量(X,Y)的联合分布律如下表，其

6、中 0p1，称(X,Y)服从二维两点分布X Y0101-p010p0 x0 或 y0F(x,y)= 1-p 0x1,1y 或 0y1,1x1 1x,1y（2）二维连续型随机变量二维均匀分布（几何概率）设，其面积记为 S(G)，若二维随机变量(X,Y)的联2RG 合概率密度为(x,y) G)G(S1f(x,y)= 0 (x,y) G则称(X,Y)在 G 上服从均匀分布设 D 是 G 的子域()，则有GD 的面积的面积 GDd)G(S1d)G(S1D)Y,X(PDD二维正态分布二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为)y()y)(x(2)x()1(212 212 22 22121 2 12 1 2e

7、 121)y, x(式中, 均为常数，且,，则称1212010211(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N();,;,2 222 11，则表示 X,Y 相互独立（相关性系数，越靠近 0 越不相0关，反之相关）X 的概率密度2 12 1 2)x(1Xe21x)(Y 的概率密度2 22 2 2)y(2Ye21y)(-3.2 二维随机变量的独立性二维随机变量的独立性1.二维随机变量的独立性设(X,Y)是二维随机变量，若对于任意实数 x 和 y，有yYPxXPyY, xXP或 )y(F)x(F)y, x(Fyx成立，则称随机变量 X 和 Y 相互独立等价于对于一切实数对(x,y),有成立)y(F

8、)x(F)y, x(FYX二维离散型随机变量：X,Y 相互独立的充分必要条件是对(X,Y)的任意一对取值()均有jiy,xyPYxPXyY,xXPjiji二维连续型随机变量：X,Y 相互独立的充分必要条件)y(f )x(f)y, x(fYX在平面上除去“面积”为零的集合外成立-3.3 条件分布条件分布1.条件分布律【离散型】X 的条件分布律固定，且iyY 0yYPji=1,2,.jijjji jippyYPyY,xXPyY|xXP则称为在的条件下，随机变量 X 的条件分布律iyY 2.条件概率密度【连续型】若记为在“Y=y”的条件下，随机变量 X 的条)y|x(fY|X件概率密度，则)y(f)

10、ijjxXPyPg(X)yYP其中y)x(g:xSjiij二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为(i,j=1,2,.)ijjipyY,xXP(X,Y)的函数 Z=G(X,Y)仍是离散型随机变量，其分布律为(k=1,2,.) kjiT)y,x(jikyY,xXPzZP其中z)y,x(G: )y,x(Tkjijik设离散型随机变量 X 和 Y 相互独立，其分布律分别为(k=0,1,2,.)k(pkXP(r=0,1,2,.) r (q rYP则它们的和 X+Y 的分布律为(m=0,1,2,.) m0kk)-p(k)q(mmYXP2.连续型随机变量的函数及其概率密度设 X 的概率密度为，则 Y=g

11、(X)的分布函数为)x(fX y)x(g : xXYdx)x(fy)X(gP)y(FY 的概率密度为在的连续点)y(FY)y(fY)y(fY0 其他设(X,Y)的联合概率密度是.则 Z=G(X,Y)的分布)y, x(f函数为 z)y,x(G: )y,x(Zdxdy)y, x(fz)Y,X(GP)z(FZ 的概率密度为在的连续点)z(FZ)z(fZ)z(fZ0 其他设随机变量 X 具有概率密度,又设函数)x(fXx-y=g(x)处处可导且恒有（或），则 Y=g(X)是连0)x(g0)x(g续型随机变量，其概率密度为| )y( h|)y(hfXy)y(fY0 其他其中，x=h(y)是)(g),-

12、 (gmin)(g),- (gaxmy=g(x)的反函数（e.g y=ax+b）abyx3.几种特殊函数的分布问题（1）极值分布极值分布设随机变量 X 与 Y 相互独立，已知其函数分别为，则最大值和最小值的分)x(FX)y(FY)Y,X(maxZ1)Y,X(minZ2布函数分别为()z(F)z(FzYPzXPzY, zXPz)Y,Xmax(P)z(FyXZ1)RzzY, zXP1z)Y,X(minP1z)Y,X(minP)z(F 2Z)z(F1)z(F1 1zYP1zXP1 1zYPzXP-1YX()Rz（2）和的分布和的分布设(X,Y)的联合概率密度是，则和 Z=X+Y 的)y, x(f分布函数是 zyxZdxdy)y, x(fzYXP)z(FZ 的概率密度为dy)y, y-z(fdx)xz, x(f)z(F)z(f ZZ附：计算的积分dre2rdxdye)dye)(dxe()dte(dte222222yxyx2tt) 1e (dred21drred222r2r0r20r0r20（3）商的分布商的分布设(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),则它们的商的分布函数是YXZ 21GGzyxZdxdy)y, x(fdxdy)y, x(fdxdy)y, x(fzZP)z(Fdudy)y,uy(yfdy)y,uy(yfz00Z 的概率密度函数是dy)y,zy(f |y|)z(f

展开阅读全文