《2011年10月全国自考《工程数学-线性代数》模拟试卷(一》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年10月全国自考《工程数学-线性代数》模拟试卷(一（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2011 年 10 月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设是矩阵, 是矩阵，如果乘积有意义，则应是（）Alk BmnTAC BCA.矩阵 nkB.矩阵 mkC.矩阵mlD.矩阵 lm答案： D2.若行列式（） aa则, 025532211A.2B. 3C. 2D.3答案： B3.设为阶方阵，那么有（） AnA. 1122AAB. 11122 AAC. 111det2det2AAD. 1det22detAA答案： B
2、4.设均为维向量，则下列结论中正确的是（）12m , ,LnA.若对任一组不全为零的数,都有，mkkk,21L11220mmkkkL则线性无关 12m , ,LB.若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都12m , ,Lmkkk,21L有 11220mmkkkLC.若，则线性相关 11220mmkkkL12m , ,LD.若向量组中任意两个向量都不成比例，则线12m , ,L3m12m , ,L性无关答案： A5.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）123, A. 122331, B. 132313,2,3 C. 1231231232,23,34 D. 1123123,2,236
3、答案： B 由于，且矩阵13231323123 101 010 123 为满秩矩阵，故线性无关.101 010 123 132313,2,3 6.设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则下列向量组中为nAx01234, 的基础解系的是（）Ax0A. 12233441, B. 12233441, C. 1121231234, D. 12233441, 答案： C.7.设阶方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（）3A22AA. 8B. 4C. 4D. 8答案： C.8.二次型的规范型是（） 212 22 121652,xxxxxxfA.2 22 1yy B. 2 2yC. 2 22 1yy D.
4、2 22 1yy 答案： C 的矩阵，易用顺序主子式判定正定，故的规范型中f2335Aff的两个系数都为 1，于是只有选项 C 正确.9.设为阶矩阵，且，则必有（）An2n2AEA. 的行列式等于A1B. 的逆矩阵等于AEC. 的秩等于AnD. 的特征值均为 A1答案： C 10.已知矩阵与对角矩阵相似，则（）A100 010 001 D2AA. AB. DC. ED. E答案： C 由于与对角矩阵相似，从而存在可逆阵，使，AP1DP AP121121.APDPAPDPPDPPD PE，二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均
5、无分。11.若，则 . 450 670 008 A1A答案：81000225032712.若方程组有非零解，则常数 . 0200321321321xxxxkxxxxkxk答案：41或13.设则 .1232,3,5 ,3,7,8 ,1,6,1 ,1233答案： 2,28,1014.已知为矩阵的 2 重特征值，则的另一个特征值为 .0022 222 222 AA答案： 4解析： 因为 ，22222 222040 222222 EA故1230,4.15.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为 .1234123001 1 1 10xxxx 答案：216.设矩阵但其中则矩阵的秩 . 4 3,AO,AB
6、O12 1314 BA rA答案：1 解析：因所以的两个列向量都是齐次线性方程组的解，而的两个,ABOBAx0B列向量是线性无关的，故的基础解系中至少含 2 个向量，而基础解系中所含向量Ax0个数为所以即另外 3,nrrAA 32,rA 1,rA故4 3AO 1,rA 1.rA17.设 2 阶矩阵，则 .2023AA A答案：6E18.设则 .12,10A22AAE答案：2211 19.若矩阵，则二次型 .110 122 025 ATx Ax答案：222 12312232524xxxx xx x20.已知 2 阶方阵的特征值为则 .A122,3, 2detA答案：36 解析：由特征值的性质知的
7、全部特征值为 4，9，故.2A 2detA4 936三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式10122131.01011342D解：.101210121012 01150115011531010100160016 03540021900031D 22.已知矩阵矩阵满足求.1111,1002ABX,AXBXX解：由，AXBXEA XB1XEAB即X1211111111 110212023131.13323.设向量组，问 取何值时，该向量组线性相关？1231,1,1 ,1,2,3 ,4,5,tt何时线性无关？并在线性相关时把表示成的线性组合.312, 解：由，
8、知123114114114 125011011 13015006TTTttt A123, 线性相关（线性无关） 66 .tt 当时，由得.6t103 011 , 000 A312324.设二次型，确定常数的最3213212 32 22 1321222,xxxxxxaxaxaxxxxfa大取值范围使该二次型正定.解：二次型对应的矩阵的特征值为.当时，即时，fA1,1,2aaa1020aa 1a 二次型正定.f25.对矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.500 013 031 AP1TP APP AP解：由，500det0135420031EA得的特征值.A1235,4,2 由，得属于的特征向量；
9、5EA000010 043001 034000 1511,0,0Te同理可得属于的特征向量分别为，234,2 20,1,1,T30, 1,1T其单位特征向量分别为，.210,1,12Te310, 1,12Te故所求正交矩阵可取为，123100 11022 11022 Peee它使.1TP APP AP500040002 26.求方程组的基础解系和通解.1234512345123451234520 20 333340 455570xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 解：对系数矩阵作初等行变换：A2111 111112 111122111 1 3333433334 4555745557
10、 11112 03335 066610 099915 ，111112100011112350333550111011133000000000000000000000000000000由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：，1523451 3 5 3xxxxxx 任意543,xxx取，得，4530,1xxx10,1,1,0,0T取，得，3540,1xxx20,1,0,1,0T取，得，3450,3xxx31, 5,0,0,3T故方程组的通解为.1 12233kkkx四、证明题（本题 6 分）27.设均为维向量，已知可由线性表示，但不能由线性表示.123, n123, 312, 证明：可由线性表示.12证明：由条件知存在常数（不全为零）使得因不能由线性, s t, s t123,st312, 表示，故上式中的 必为零（否则，则有这t0t3123121,ststt与不能由线性表示矛盾） ，于是得，即可由线性表示.312, 12s12
