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1、第第 8 8 章章 完备度量空间完备度量空间( (简介简介) )8.18.1 度量空间的完备化度量空间的完备化定义 8.1.1 设(X,)是一个度量空间X 中的一个序列 ,如果对于任意给定的实数 0,存在整数 N0,使得当 i,jN 时,有 ,则称序列是一个Cauchy 序列如果 X 中的每一个 Cauchy 序列都收敛,则称度量空间(X,)是一个完备的度量空间易见度量空间中的每一个收敛序列都是 Cauchy 序列,但反之不然例 8.1.1 实数空间 R 是一个完备的度量空间(证略)有理数集 Q 作为实数空间 R 的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在 R 中收 敛于无理数的有理数序列
2、在这个子空间中均不收敛(完备性不可遗传)完备性也不是一个拓扑不变性质例我们在 R 中引入一个新的度量 d,其定义为:容易验证 d 确实是 R 中的一个度量,并且与 R 的通常度量 等价因此实数集合 R 在 这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚(即(R,)与(R,d)是同胚空间)然而(R,)是一个完备度量空间,而(R,d)却不是因为其中的序列 是一个 Cauchy 序列,然而却不收敛验证如下:取,则当 i,jN 时(设 ix 时是个确定的数即不论你取定怎样的 x,当 i 比 2x 大时,x、i 的距离总是大于固定的数，这说明是不收敛于 x 的定理定理 8.1.18.1.1 完备度量空间中的每
3、一个闭的度量子空间都是完备度量空间完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间( (闭遗闭遗 传传) )引理引理 8.1.28.1.2 设设(X,)(X,)是一个度量空间是一个度量空间, ,如果如果 Y Y 中的每一个中的每一个 CauchyCauchy 序列序列都在都在 X X 中收敛中收敛, ,则则 Y Y 的闭包的闭包 中的每一个中的每一个 CauchyCauchy 序列也都在序列也都在 X X 中收敛中收敛推论推论 8.1.38.1.3 设设(X,)(X,)是一个度量空间是一个度量空间Y Y 是是 X X 的一个稠密子集如果的一个稠密子集如果 Y Y 中的每一中的每一 个个 C
4、auchyCauchy 序列都在序列都在 X X 中收敛中收敛, ,则则 X X 是一个完备度量空间是一个完备度量空间定理定理 8.1.48.1.4 n n 维欧氏空间维欧氏空间和和 HilbertHilbert 空间空间 H H 都是完备度量空间都是完备度量空间定义 8.1.2 设(X,)和(Y,d)是两个度量空间,f: XY如果对于任意 x,yX 有 d(f(x),f(y)=(x,y),则称映射 f 是一个保距映射,如果存在一个从 X 到 Y 的满的保距映 射,则称度量空间(X,)与度量空间(Y,d)同距定义 8.1.3 设 X 是一个度量空间, X*是一个完备度量空间如果 X 与 X*的
5、一个稠密 的度量子空间同距,则称完备度量空间 X*是度量空间 X 的一个完备化定理定理 8.1.58.1.5 每一个度量空间都有完备化每一个度量空间都有完备化定理定理 8.1.68.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距每一个度量空间的任意两个完备化同距8.28.2 度量空间的完备性与紧致性度量空间的完备性与紧致性定义 8.2.1 设(X,)是一个度量空间,0 是一个实数X 的有限子集 A 称为一个 网,如果对于任何 xX 有 (x,A)0,X 有一个 网,则称度 量空间(X,)是完全有界的一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的反之不然,例如包含着无限多个点的 离散度量空间是有界的但不是完全有界的定理定理 8.2.18.2.1 设设(X,)(X,)是一个度量空间是一个度量空间, ,则则(X,)(X,)是紧致的当且仅当是紧致的当且仅当(X,)(X,)是一个是一个 完全有界的完备度量空间完全有界的完备度量空间
