为了引入导数的概念

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1、为了引入导数的概念, 我们在教学中引入了一个数学模型，原题目为：一个受污染的 湖泊，为了使湖水能在一定时间内恢复到指定的洁净程度，要对排入该湖的河水进行治理， 问排入的河水的污染物浓度要控制在什么范围。 1.问题的简化：一个容积为 C 的容器，内有浓度为 a% 的溶液，有一个进水口和一个 出水口，现以 D 单位每小时的速度由进水口注入浓度为 b% 的溶液，同时容器内溶液以同 样速度流出，问容器内的溶液浓度的变化率。 2.模型的建立：首先考虑流入的为清水的情况，并认为容器内的溶液浓度始终是均匀 的， 那么流出的溶液浓度就是容器内溶液的浓度。在这样的假设条件下，容器内的溶液浓 度变化全部是由溶质的

2、流失引起，那么有： 浓度变化率= 溶质变化量/(溶液总量变化时间) = 流速时间浓度/(溶液总量变化时间) 3.模型的优化：如果考虑到流入的不是清水，则只需要将溶质变化量改为流入溶质减 去流出溶质即可。但在上面的讨论中，有一个问题被忽略掉了，那就是浓度，要知道它不 是固定不变的，而是随时间的变化而变化的。这时可以引导学生这样想，若取时间为一个 小时，浓度变化显然太大，那么我们考虑一分钟，在一分钟内浓度变化不太大，我们把浓 度看作常数来计算误差不会太大，可是一分钟内溶液浓度还是有变化的，要得到更加精确 的结果就要把时间进一步缩短，如 1s、0.1s，那么所得的结果就会越来越精确。这时让学 生考虑

3、，如果要得到精确结果应该怎么办。这时学生自然而然地会想到应该把时间无限的 缩短，即取时间趋于零的极限情况。 由学生自己发明出来的这个极限公式，并结合其他简单例子，抓住他们的共性，我们 就可以引出函数导数的概念。这样引入概念，学生有兴趣、有成就感，理解更透彻，掌握 更牢固。进入 21 世纪，我国高新技术的迅猛发展和产业的不断升级向高等教育提出了新的要求，一些普通本科院校为适应社会需求，积极开展应用型本科教育，培养应用型本科人才，即：既具备全面的知识、能力和综合素质，又能面向生产、建设、管理、服务第一线的高级应用型专门人才。为实现这一目标，依照应用型本科教育的人才培养模式，对教学工作进行相应的改革

4、是当前这些高校最重要的任务，而作为这类院校重要基础课的数学教学的改革，更是重中之重。孔繁敏教授这样归纳应用型本科教育的人才培养模式：“以知识为基础、以能力为重点、以服务为宗旨，注重知识、能力、素质协调发展，学习、实践和职业技术能力相结合。”数学教学要适应这一模式，把数学建模思想融入其中不失为一个正确的选择。 的数学逻辑顺序“数学建模的灵魂” ，就是指“以实际问题解决为目标”把“数学知识、方法”与“实际问题解决”紧密联系起来的一种思想：一方面，实际问题往往直接不好解决，通过建立模型转化为数学问题之后则可以利用一些现成的数学知识和方法来解决；另一方面，要知道所有数学知识和方法实际上又都是来源于实际

5、问题，是人们为了解决实际问题而发明出来的，著名数学家 Hollmos 就曾说过：“真正构成数学的是问题和问题的解决” 。在教学中采用这种 策略由此，将数学建模思想融入高等数学课程的内涵也应包含两个方面：首先，为了重点培养学生分析解决问题的能力，在数学教学中应大力培养学生把实际问题转化成数学问题的意识和的能力，即数学应用能力，这一点非常重要；其次，由于对数学问题的计算和分析要求学生掌握相关的数学知识，而单纯的数学知识往往比较抽象，对于数学课时较少的理工科学生来说，着实不易接受，这就需要在教学中把它转化成学生感兴趣的实际问题通过实际背景帮助学生理解。总之，将数学建模思想融入数学教学就是要让学生在学

6、知识中学会应用，在应用中学会知识，促进学生的知识、能力和素质的协调发展。曾在我院大一学生中做过这样一项调查，问：“数学有用吗？”回答“有用”的占 30%， 回答“没用”的占 20%，回答“不知道”的占 50%，而问到：“你喜欢学数学吗？”在认 为数学没用和不知道是否有用的学生中回答“喜欢”的只占到 10%，在认为数学有用的学 生中回答“喜欢”的也只占到 50%，这说明，大部分学生从数学课上看不到数学的实用性 从而不喜欢数学，也有很多学生虽然知道数学有用，但是却不能从数学课上找到兴趣。针 对这种现象，我们尝试“面向问题”式教学模式：从学生感兴趣的实际问题出发自然而然 地引入概念和方法，让抽象的概

7、念在解决问题的过程中重新被发明出来，并且用来解决适 当的应用问题，让知识的引入如同“随风潜入夜” ，知识的应用如“润物细无声” 。 例如，高等数学中定积分的概念，初看起来很抽象，但在他的形成过程中，有大量的 具体原形作基础， 如求曲边梯形的面积、旋转体的体积、变速运动做功等，均可通过“ 分割” 、 “ 近似代替” 、 “ 求和” 、 “ 取极限”利用“ 以直代曲、以不变代变” 的数 学思想，化为项和的极限，在忽略其实际意义的情况下，抓住其数学本质，归纳、抽象出 定积分的概念，将该模型类比推广到积分区域为平面、空间区域、空间曲线、空间曲面就 分别得到了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分概念，

8、对其相应的应用，如不规则 图形的面积、体积、弧长、重心、转动惯盆等实际问题就很容易的解决了。 再如高等数学中的极限、导数、级数等概念也都有丰富的实际背景，就连指数函数的 概念也可以通过如下的例子引入： 例例 下表是某城人口的数据表1 , 试讨论该城的人口增长情况.年人口（百万）人口改变（百万）198067.83198169.131.75198270.931.80198372.771.84198474.661.89从第三列知，人口呈非线性增长，如果将每年的人口除以上一年的人口，将发现人口总数 每年以大约1.026的比例增长，用t表示自1980 年以来的年数，则t年后人口P(t)为P(t)=67.

9、38 (1.026)t t称此函数为以1.026 为底的指数函数，该模型可以预测各年的人口数，例如，P(27)134.76 百万，即再过27年(2007年) ，人口将翻一倍，最后给出指数函数的一般定义。 除了很多概念可以通过具体模型引入之外，很多公式也都可以通过实例被再发明出来， 比如，可以利用匀速圆周运动模型来得出 sinx 的导数公式及重要极限 sinx/x1，利用直接 计算双曲线下方的面积来得出（lnx）=1/x，得出重要极限 e 等等。 总之， “面向问题式”教学模式就是从问题出发，在解决问题的过程中让学生把那些 概念、公式 “发明”出来。学生“发明”这些知识的过程也是解决问题的过程，

10、从而既锻 炼了解决问题的能力又学会了新知识，相辅相成、一举两得。而且对于学生来说，由于经 常经历发明的过程和发明的训练，以后大有可能“弄假成真” ，为人类做出真正的发明创造，这些都是应用型本科人才所应具备的基本能力。 （二）采用（二）采用“从特殊到一般从特殊到一般”的方式对定理证明进行的方式对定理证明进行“粗粗”处理处理 总课时不变，加强应用就意味着削弱理论，针对一些定理意义深刻但证明过程复杂的 问题，我们通常舍弃复杂的证明，选取一个简单的实例，把定理的条件、结论看做这个实 际问题的数学模型，由实际问题的结果得到一般的结论，比如辛钦大数定律，定理的条件是一个独立同分布的随机变量序列，满足，我们

11、可以举这样一个实LL，21aEi例：要估计某地区小麦的平均亩产量，只要收割一部分有代表性的地块儿，计算他们的平均亩产量，这个平均亩产量当很大时就可以作为全地区的平均亩产量，即亩产 niin11n量的期望值的近似，根据这一实际问题得到定理一般的结论。这种对定理证明进行“从a 特殊到一般”的“粗”处理方式省时又直观，不但让学生轻松理解定理而且兼顾到定理的 应用，对于应用型本科院校的学生来说，确实能起到事半功倍的效果。 解决问题的能力只有在不断地解决问题的过程中才能得到发展，我们不但要在课堂上 要引导学生去解决实际问题，在课后习题中也应增加与所学知识相关的简单实际应用题的 比例，这些问题没有现成的答

12、案、没有固定的方法、没有指定的参考书、没有规定的数学 工具，但可以让学生以小组为单位共同完成作业，相互切磋、分工协作，让学生亲身经历 建立模型、解决问题的全过程，这样不仅能督促学生自主学习，还能增强他们的数学实践 能力和团队协作精神，同时还巩固了所学知识。 泰勒公式是高等数学中的重点和难点，讲授这部分内容时，我们首先让学生用数学软 件 画出函数 f (x ) = e2x 和 g (x ) = 1+2x+2x2在 x = 0 附近的图象，学生会发现在 x=0 附近这两 个函数的图像很接近，而这两个函数一个是多项式函数运算简单，另一个是指数函数运算 较复杂，从而引出问题，能否用简单函数来近似复杂函

13、数？接着进一步让学生分析两个函 数在 x=0 点的函数值及各阶导数，学生会得出结论，两个函数在 x=0 的函数值和各阶导数 都是相等的，从而引出函数的泰勒展开式的概念，并且还可以让学生继续画出函数与其各 次近似多项式的图像，分析图像接近程度与多项式次数的关系。学生会发现在 x = 0 附近这两个函数的图象很接近. 而这两个函数一个运算简单, 另一 个较复杂.引出问题, 能否用简单函数近似复杂函数? 进一步让学生分析两个函数在 x = 0 点的函数值及各阶导数. 还可以让学生画图理解函数与其近似多项式的接近程度. 例如, 在一个坐标系下画 y = sinx 和其三次、五次、九次近似多项式的图象.

14、从图中看出, 函数 y = sinx 与其近似多项式的关系: 近似多项式的次数越高, 接近的越 好. 通过画图, 抽象的数学概念变得直观易懂, 激发学生的创造积极性. 一些复杂的计算,使用数学软件, 变得迎刃而解, 这样的训练内容就可以有所减少, 而更好的注意理解概 念, 有 时间训练解决实际问题的能力. 这一问题, 实际上涉及教学计划的重新安排和重点的重 新 分配, 也反映了实验的作用. 另外, 数学软件和实验不能只停留在引入概念和方法, 不 应只 作为过去直观教具的发展, 而应真正贯彻 M acL ane 所说的全过程, 给学生想、做、试 的条件. 实践证明, 在教学中体现数学建模的思想, 注重培养学生解决实际问题的能力, 是数学