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1、1第三节第三节 泰勒级数泰勒级数一、一、泰勒级数泰勒级数前面我们研究了幂级数的敛散性，知道它在其收敛域上可表示为它的和函 数，但在理论研究以及近似计算中，我们往往考虑相反的问题能否把函数表示成幂级数.( )f x例如计算，在前面第*章曾介绍过该积分是“求不出”的，但在本210xedx节中我们将会知道能表示成幂级数2xe，246 11!2!3!xxxL利用这一结果可以得出，从而能计算出该积22461100(1)1!2!3!xxxxedxdxL分的近似值.假设函数在某一点附近可以表示为幂级数：( )f x0x, (1)0100( )()()nnf xaa xxaxxLL那么如何确定它的各项系数.
2、首先在（1）式中令，可得； 0xx 00af x假设函数在附近存在任意阶导数，反复利用幂级数可逐项求导的性( )f x0x质，得， 1 1200( )2()()nnfxaaxxnaxxLL， 2 2300( )23 2()(1)()nnfxaa xxn naxx LL在上述等式中令，可得，.0xx 0 11fxa 0 22!fxa ( ) 0 !nnfxan我们称级数为在点（或关于的，或在点附( ) 0 0 0()()!n nnfxxxn( )f x0x0x0x近的）的泰勒级数泰勒级数.特别的时的泰勒级数比较常用，被称为在点的00x ( )f x0x2麦克劳林级数即麦克劳林级数即.( )0(0
3、) !n nnfxn二、二、函数的泰勒级数展开函数的泰勒级数展开由上述可知如果函数如果函数关于关于点的幂级数表示存在，则点的幂级数表示存在，则等于它的泰等于它的泰( )f x0x( )f x勒级数的和，即勒级数的和，即.但什么情况下函数关于点的( ) 0 0 0()( )()!n nnfxf xxxn( )f x0x幂级数存在呢？ 我们有定理如下：定理定理 1：设函数：设函数点点的某邻域内有任意阶导数，则在此邻域内的某邻域内有任意阶导数，则在此邻域内的泰勒的泰勒( )f x0x( )f x级数收敛于级数收敛于的充要条件是当的充要条件是当时时的泰勒级数的余项的泰勒级数的余项极限为极限为( )f
4、xn ( )f x( )nR x，其中，其中.0( ) 0 0 0()( )( )()!in i n ifxR xf xxxi下面具体介绍函数展开成幂级数的步骤.( )f x直接展开法直接展开法：步骤：1）写出的泰勒级数；( )f x2）求出收敛半径；3）考察在收敛域内.lim( )0nnR x 是否有我们利用直接展开法把下面几种基本初等函数展开成麦克劳林级数，其中第 3 步考察在收敛域内，均可以利用泰勒级数的拉格朗日型lim( )0nnR x 是否有余项证得是有的，我们将这一过程略去.关于的泰勒级数的拉格朗日型余项：( )f x对函数连续使用次柯西中( ) 10 00 0()( )( )()
5、( )()!in in n ifxR xf xxxg xxxi和1n值定理可以得到其中 介于之间，该余项被称为拉格朗日型 1 1 0( )(),1 !n n nfR xxxn 0xx与余项. 3例例 1 求函数在处的幂级数展开式.( )xf xe0x 解解 由，得，于是函数在( )( )nxfxe( )(0)1 (0,1,2,)nfnL( )xf xe处的泰勒级数为0x ，23 12!3!nxxxxnLL容易求得该级数收敛半径,于是r .23 1,(,)2!3!n xxxxexxn LL1yx 42 12!xyx 23 12!3!xxyx 5234 12!3!4!xxxyx 从以上图像中我们可
6、以观察到函数随着无限逼近指23 12!3!nxxxxnLn 数函数.xye例例 2 将函数展开成的幂级数.( )sinf xxx解解 ，( )sin ,( )cos ,( )sin ,( )cosf xx fxx fxx fxx 可见的各阶导数按此依次循环，则依次取值为 0，1，0，-1，( )f x( )(0)nf,于是函数的麦克劳林级数为(0,1,2,)n L( )f x，3521 ( 1)3!5!21 !n nxxxxn LL容易求得该级数收敛半径,于是r .3521 sin( 1),(,)3!5!21 !n nxxxxxxn LL例例 3 将函数展开成麦克劳林级数.( )1,f xxR
7、解解 1( )(1),fxx2( )(1)(1),fxx L L6 ( )(1)(1)(1),nnfxnx LL L依次取值为,( )(0)nf 1, ,1 ,11 ,(0,1,2,)nn LLLL于是函数的麦克劳林级数为( )f x， 211112!nnxxxn LLL容易求得该级数收敛半径,于是1r (4) 211111,( 1,1)2!nnxxxxxn LLL在端点处，上式是否成立，要看的数值而定.1x 公式（4）称为牛顿二项展开式，特别的，当取正整数时，级数成为的x 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理. 另外，当=-1 时，即可得到下面熟悉的等比级数的求和公式. (5)211( 1
8、),( 1,1)1nnxxxxx LL间接展开法间接展开法：对于一般的函数来说直接展开法计算量大，而且对余项考察也比较困难， 因此我们更多利用由已知函数的幂级数通过幂级数的性质以及变量代换等方法 来求其幂级数展开式，这种方法称为间接展开法.例例 4 将函数展开成麦克劳林级数.2( )xf xe解解 令，则，2tx ( )tf xe由例 1 可知，所以23 1,(,)2!3!n ttttettn LL.2462 21( 1),(,)2!3!n xnxxxexxn LL例例 5 将函数展开成的幂级数.1( )12f xxx解解 令，则，2tx1( )1f xt7由(5)式可知，所以211( 1),
9、( 1,1)1nnttttt LL.2 211 1124( 1) 2,(, )12 2nnnxxxxx LL例例 6 将函数展开成的的幂级数.( )cosf xxx解解 ，cossinxx由例 2 可知，3521 sin( 1),(,)3!5!21 !n nxxxxxxn LL对上面的展开式逐项求导得.242 cos1( 1),(,)2!4!2!n nxxxxxn LL例例 7 将函数展开成的的幂级数.( )ln(1)f xxx解解 ，由（5）式 0ln(1)1xdxxx211( 1),( 1,1)1nnxxxxx LL所以2023ln(1)(1( 1),( 1,12!3!xnnnxxxxdx
10、xxxxxn LLLL注意上式右端在点处是收敛的.1x 例例 8 将函数展开成的幂级数.2sin xx例例 9 函数展开成的幂级数.( )lnf xx(2)x常用的麦克劳林公式：，23 1,(,)2!3!n xxxxexxn LL8，3521 sin( 1),(,)3!5!21 !n nxxxxxxn LL，242 cos1( 1),(,)2!4!2!n nxxxxxn LL，23 ln(1),( 1,12!3!nxxxxxxn LL. 211111,( 1,1)2!nnxxxxxn LLL三、泰勒级数的应用举例三、泰勒级数的应用举例：（一）一） 、近似计算、近似计算例例 1 求近似值. e例
11、例 2 计算，精确到.10sin xdx x410（二）（二） 、求微分方程的幂级数解、求微分方程的幂级数解求解微分方程是非常复杂的，我们能解的只是一些孤立、零碎、极特殊的 类型，很多时候我们就利用幂级数解微分方程和进行近似计算，这是很实用的 方法，有很好的实用意义和价值.例例 3 求微分方程的通解.0yxy解 设，则，0n n nya x1212,(1)nn nn nnyna xyn na x 代入原方程得 ，22 234012 23041(2 13 24 3)()2(3 2)(4 3)0yxyaa xa xa xa xaaa xaa x LLL于是各项系数均为 0，得 .001 23456
12、0,0,3 24 36 5 3 2aaaaaaaa L9令，得通解为0112,aC aC.346121 123 24 36 5 3 2CCCyCC xxxx L（三）（三） 、求隐函数的表达式、求隐函数的表达式例例 4 方程在（0，0）附近确定一隐函数，求它在原点0xyxyee( )yy x附近的表达式.解 设，对原方程两端求一阶导数得0(0)( )!n nnyy xxn，0xyyxyee y令可得：，对上式继续求导：0,0xy(0)1y，20xyyyyxyee ye y将代人上式得，以此类推可得等等(0)0,(0)1yy1(0)2y 5(0)4y 所以.2311( )46y xxxxL三、求
13、不定式的极限（建议删去）例 0sinlim xxx x四、证明不等式（建议删去）例 2 11(0)28xxxx 第四节第四节 傅立叶级数傅立叶级数一、傅立叶级数一、傅立叶级数正如我们看到的那样，泰勒级数是在某一点领域内以多项式来逼近某一函 数，但这种逼近是逐点逼近，往往是局部的.而现实中有诸多现象常常需要用到 周期函数，如心脏跳动、弹簧震动、交流电压、光波、声波等等，这就要求能 找到一种整体意义上的逼近.傅立叶级数很好地解决了这一问题.10物理中最简单的周期现象是简谐波.（要解释吗）事实证明许多sinyAt非正弦周期波都可以用一系列简谐波叠加.由正弦、余弦函数叠加而成的无穷级 数叫三角级数.假设一个以为周期的函数，有如下三角级数展开2L( )f x， （1）01( )(cossin)2nn nannf xaxbxLL那么如何确定它的各项系数呢？我们假定在上可积,于是对（1）式( )f x, L L两端同时从积分有LL 到， 01( )(cossin)2LLLLnnLLLLnannf x dxdxaxdxbxdxLL（2）然后我们在（1）式两端同乘以，再两端同时从cos(1,2, ,)kx knLLL积分得LL 到（301( )coscos(coscossinco
