《2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.6（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.6 抛物线抛物线1 抛物线的概念平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点 F叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线2 抛物线的标准方程与几何性质y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0) 标准方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点 F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)离心率e1准线方程 xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内
2、与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准a4线方程是 x .( )a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )(4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F( ，0)的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.( p24 )2 设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( )A. B2,212，12C1,1 D4,4答案
3、 C解析 Q(2,0)，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得k2x2(4k28)x4k20，由 (4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.3 (2012四川)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点M(2，y0)若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|等于( )A2 B2 C4 D2235答案 B解析 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)，则 M 到焦点的距离为 xM 2 3，p2p2p2，y24x.y 428，2 0|OM|2.4y2 04834 动圆过点(1,0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为
4、_答案 y24x解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y24x.5 若抛物线 y22px 的焦点与椭圆1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26y22答案 4解析 因为椭圆1 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y22px 的焦点为(2,0)，则 p4.x26y22题型一 抛物线的定义及应用例 1 已知抛物线 y22x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点 P 的坐标思维启迪 由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到
5、准线 l 的距离 d，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d 的问题解 将 x3 代入抛物线方程y22x，得 y.62，A 在抛物线内部，如图6设抛物线上点 P 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知|PA|PF|12|PA|d，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值为 ，即|PA|PF|的最小值为 ，此时 P 点7272纵坐标为 2，代入 y22x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要
6、途径已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3 C. D.172592答案 A解析 抛物线 y22x 的焦点为 F( ，0)，准线是 l，由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距12离等于它到准线 l 的距离，因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离因此所求的最小值等于 ，选 A.12222172题型二 抛物线的标准方程
7、和几何性质例 2 抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，它与圆 x2y29 相交，公共弦 MN 的长为 2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程5思维启迪 首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数解 由题意，得抛物线方程为 x22ay (a0)设公共弦 MN 交 y 轴于 A，N 在 y 轴右侧，则|MA|AN|，而|AN|.5|ON|3，|OA|2，N(，2)32 525N 点在抛物线上，52a(2)，即 2a ，52故抛物线的方程为 x2 y 或 x2 y.5252抛物线 x2 y 的焦点坐标为，准线方程为 y .52(0，58)58抛物线 x2 y 的焦点坐标为，准线
8、方程为 y .52(0，58)58思维升华 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(1)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A.若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( )Ay24x By28xCy24x Dy28x(2)(2013江西)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x24y
9、的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|等于( )A2 B12 C1 D1355答案 (1)B (2)C解析 (1)直线方程为 y2(x )，令 x0，得 y ，a4a2故有 4 | | |，12a4a2a216a8，y28x.(2)由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH.即|FM|MN|MH|MN|FO|AF|1.5题型三 抛物线焦点弦的性质例 3 设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.思维启
10、迪 证直线 AC 经过原点 O，即证 O、A、C 三点共线，为此只需证 kOCkOA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证明 方法一 设 AB：xmy ，代入 y22px，p2得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yB.p2yABCx 轴，且 C 在准线 x 上，p2C( ，yB)p2则 kOCkOA.yBp22pyAyAxA直线 AC 经过原点 O.方法二 如图，记准线 l 与 x 轴的交点为 E，过 A 作 ADl，垂足为D.则 ADEFBC.连接 AC 交 EF 于点 N，则，|EN|AD|CN|AC|BF|AB|.|NF|BC|AF|
11、AB|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|NF|，|AD|BF|AB|AF|BC|AB|即 N 是 EF 的中点，从而点 N 与点 O 重合，故直线 AC 经过原点 O.思维升华 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到 yAyBp2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)、B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；p24(2)为定值；1|AF|1|BF|(
12、3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ，0)p2由题意可设直线方程为 xmy ，代入 y22px，p2得 y22p(my )，即 y22pmyp20.(*)p2则 y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y 2px1，y 2px2，所以 y y 4p2x1x2，2 12 22 1 2 2所以 x1x2.y2 1y2 24p2p44p2p24(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2.x1x2px1x2p2x1x2p24因为 x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，p24得 (定值)1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB|
13、pp242p(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 C、D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN| (|AC|BD|)12 (|AF|BF|) |AB|.1212所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切题型四 直线与抛物线的位置关系例 4 已知抛物线 C：ymx2(m0)，焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)求抛物线 C 的焦点坐标(2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3，求此时 m 的值(3)是否存在实数 m，
14、使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离解 (1)抛物线 C：x2 y，它的焦点 F(0，)1m14m(2)|RF|yR，23，得 m .14m14m14(3)存在，联立方程Error!Error!消去 y 得 mx22x20，依题意，有 (2)24m(2)0m .12设 A(x1，mx )，B(x2，mx )，2 12 2则Error!Error!(*)P 是线段 AB 的中点，P(，)，x1x22mx2 1mx2 22即 P( ，yP)，Q( ， )1m1m1m得(x1 ，mx )，(x2 ，mx )，QA1m2 11mQB1m2 21m若存在实数 m，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形，则0，QAQB即(x1 )(x2 )(mx )(mx )0，1m1m2 11m2 21m结合(*)化简得 40，4m26m即 2m23m20，m2 或 m ，12而 2( ，)， ( ，)121212存在实数 m2，使ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点
