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1、 2 22 2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力.教学建议：1知识结构:（不等式证明三种方法的理解）=（简单应用）=（综合应用）2重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；综合性问题证明方法的选择（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验
2、证式子是否成立（2）比较法证明不等式的分析在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径由于 aba-b0a-b0，因此，证明 abab，可转化为证明与之等价的 a-a-b0b0这种证法就是求差比较法由于当 b0 时,ab(ab)1，因此，证明 ab(b0),可以转化为证明与之等价的(ab)1(b0)这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b0)这一前提条件求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数
3、(或式子)即可.作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与 1 的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式（3）综合法证明不等式的分析利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）=（逐步推演不等式成立的必要条件）=（结论）（4）分析法证明不等式的分析从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法有时，我
4、们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）0,b0,当且仅当a=b时取“=”号.abba 2(4)当a,b同号时有2,当且仅当a=b时取“=”号.ab ba(5) (a0,b0,c0),当且仅当a=b=c时取“=”号.3 3abccba(6)a3+b3+c33abc(a0,b0
5、,c0),当且仅当a=b=c时取“=”号. 教学难点 “由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. 教学过程 1.课题导入 师同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几 个重要的不等式. (打出投影片6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读 投影片6.3.3 A) 我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a20,或(ab)20; (2)a2+b22ab,a2+b2-2ab,即a2+b22|ab|;(3),(a,bR R+),当且仅当a=b时取“=”号;abba 2(4)ab,(a,bR R);ab()2,(a,bR R+
6、),当且仅当a=b时取“=”号;222ba 2ab(5)2,(ab0),当且仅当a=b时取“=”号；ab ba（6）,(a,b,cR R+),当且仅当a=b=c时取“=”号；3 3abccba（7)a3+b3+c33abc,(a,b,cR R+),当且仅当a=b=c时取“=”号. 今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的 一种常用的重要的方法综合法. 2.讲授新课 一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得 出命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法有较顺利推证法或有引导果法。 下面，我们探索研究用“综合法”证明不等式. 例 1
7、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式： a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的 “和” ，右边有三正数a,b,c的“积” ，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c33abc.(教 师引导学生，完成证明） 证法一：a0,b2+c22bc 由不等式的性质定理 4，得 a(b2+c2)2abc. 同理b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 因为a,b,c为不全相等的正数
8、，所以b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b22ab三式不能全取 “=”号，从而,三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理 3 的推论，,三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 证法二： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) =ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2 =(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) a,b,c为不全相等的正数.a2b+b2c+c2a3=3abc3233cbaab2+bc2+ca23=3abc3333cba由不等式的性质定理 3 的推论，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a
9、2+b2)6abc. 总结：1.“综合法”证明不等式就是从已知（或已经成立）的不等式或定理出发，结 合不等式性质，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立. 2.在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其 中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论.1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Q特点:“由因导果”则综合法用框图表示为:n nQ QQ Q例 2：在中，三个内角、对应的边分别为 a、b、c，且、成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证为等边三角形3、课堂练习1、在AB
10、C 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A，B，C 成等差数列，求证：113 abbcabc+=+4、课后作业1abCDb2a21ba ba112a,bR+，M=，则 M、A、G、H 间的大小关系是（ ）2111,2,222baHabGbaAbaAMAGHBMHAG CAGMHDAGHM 300，b0，且 a+b=1，求证：.221212ba39)11)(11 (1,yxyxyx，求证：是正实数，若42cos42sin31tan2tan1，求证：已知第第 4 课时课时 反证法反证法教学目标 (一)教学知识点 1.反证法的概念. 2.反证法证题的基本方法. (二)能力训练要
11、求 1.初步掌握反证法的概念. 2.理解反证法证题的基本方法. 3.培养学生用反证法简单推理的技能.(三)德育渗透目标 培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明 事物的结论成立的简单推理能力与思维能力. 教学重点 1.理解反证法的推理依据. 2.掌握反证法证明命题的方法. 3.反证法证题的步骤. 教学难点 理解反证法的推理依据及方法. 教学过程 1.复习：证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法. 2.讲授新课 反证法:先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理, 性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的 结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较 困难的命题常常用反证法证明.111 ,0,2,2.xyx yxyyx例已知且试证中至少有一个小于1111:,2,2,2,0,12 , 12 , 22()2, 112.2xyxy yxyx x yxyyx xyxyxy xyxyyx Q证明假设都不小于即且这与已知条件矛盾与中至少有一个小于例 2、设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,41 41 41则三式相乘：ab 0, y 0, ，求证：a byxyxa1yy xxb11)(121 21 111 212NnnnnnL、
