《2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)(数学理含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)(数学理含答案)（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、绝密绝密启用前启用前 试卷类型：试卷类型：A A20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）数学（理科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 ）1、若集合，则（ ）410x xx 410x xx IA B C D 1,41, 4 02、若复数（ 是虚数单位） ，则（ ）32ziiiz A B C D23i23i32i32i3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数
2、的是（ ）A B C D21yx1yxx122x xy xyxe4、袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球， 个红球从袋中任取个球，151052所取的个球中恰有 个白球， 个红球的概率为（ ）211A B C D5 2110 2111 2115、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）210xy 225xyA或 B或250xy250xy250xy250xyC或 D或250xy250xy250xy250xy6、若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）xy4581302xyxy 32zxyA B C D423 5631 57、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ C:222
3、21xy ab5 4e 2F 5,0C）A B C D22 143xy22 1916xy22 1169xy22 134xy8、若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）nn A至多等于 B至多等于 C等于 D大于345 5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分 ） （一）必做题（一）必做题（1113 题）题）9、在的展开式中，的系数为 41x x10、在等差数列中，若，则 na3456725aaaaa28aa11、设的内角，的对边分别为， 若，则CAACabc3a 1sin2 C6
4、b 12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了40条毕业留言 （用数字作答）13、已知随机变量服从二项分布，若，则 , n p 30 D20 p （二）选做题（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题）题，考生只能从中选作一题）14、 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极坐标方程为，点的极坐l2 sin24A标为，则点到直线 的距离为 72 2,4AAl15、 （几何证明选讲选做题）（几何证明选讲选做题）如图 ，已知是圆的直径，1A ，是圆的切线，切点为，过圆心4A CCC1 作的平行线，分别交和于点和点，则CCCADD
5、三、解答题16.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知向量xoy22(,),(si n, cos),(0,)222mnxxxu rr(1) 若，求的值；mnu rr t anx(2) 若与的夹角为，求的值.mu r nr3x17. （本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人年龄数据如下表（1）用分成抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差；x2s（3）36 名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01）？xsxs18.（本小题满分 14 分）如图 2，
6、三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，PD CABC D，点是的中点，点分别在线段上，且4,6,3PDPCABBCEC D、FG、ABBC.2,2AFFB C GG B(1) 证明：；PEFG(2) 求二面角的正切值；PADC(3) 求直线与直线所成角的余弦值.PAFG19. （本小题满分 14 分）设，函数1a2( )(1)xf xx ea(1) 求的单调区间；( )f x(2) 证明在上仅有一个零点；( )f x(,) (3) 若曲线在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点处的切线与直线 OP 平行， （O 是坐标()yf xM （m , n）原点） ，证明：.321mae20. （本小
7、题满分 14 分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点 A、B.l22 1:650Cxyx(1) 求圆的圆心坐标；1C(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3) 是否存在实数 k,使得直线与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；:(4)lyk x若不存在，说明理由.21. （本小题满分 14 分）数列满足：.a n* 12122. . . . . .3,2nnnaananN(1) 求的值；3a(2) 求数列的前 n 项和；a nnT(3)令证明：数列的前项和满足1 11111,(1. . . . . .) (2),23n nnTba ba nnnnbnSn2
8、2l nnSn20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题1-8：DADB，ABCB二、填空题9、610、1011、112、156013、14、15、81 35 2 2三、解答题16（1）由题意知，mnu rr0m n u r rg由数量积坐标公式得，22sincos022xxtan1x （2）与的夹角为mu r nr3由向量的夹角公式22sincos122cos,1 12| |xxm nm nmn u r ru r rgu rrg1sin()42x又，(0,)2x(,)44 4x ，即4
9、6x5 12x所以的值为。x5 1217、 （1）由分层抽样知：36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为 2所有样本数据的编号为：42,(1,2,9)nnL L其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37；（2）由平均值公式知：444037409xL L由方差公式知：22221100(4440)(4040)(3740) 99s L L（3）因为，2100 9s 10(3,4)3s 所以 36 名工人中年龄在和之间的人数等于区间的人数；xsxs37,43即 40，40，41，39，共 23 人。所以 36 名工人中年龄在和之间的人数的百分比
10、为。xsxs2363.89%3618（1）在中，为的中点，且PCDECDPCPDPECD又平面平面，且平面 平面= ，平面PCDABCDPCDIABCDCDPEPCD平面PE ABCD又平面FG ABCDPE FG（2）由（1）知平面，且平面PE ABCDAD ABCDPE AD又四边形是长方形，ABCDADCD又PECDEI平面，AD PCDADPD为二面角的平面角PDEPADC，6ABCD3DE 在中，RtPED2222437PEPDDE7tan3PEPDEDE所以所求二面角的正切值为PADC7 3（3）连接，在中，ACABC2,2AFFG CGGB，由异面直线所成角的定义知：/ /FGA
11、C直线与直线所成的角的大小为PAFGPAC在中，RtPDA225PAPDAD223 5ACABBCPC42222545 169 5cos2252 5 3 5PAACPCPACPA AC g所以直线与直线所成的角的余弦值为PAFG9 5 2519（1）的定义域为( )f xR由导数公式知22( )2(1)(1),xxxfxxex exexR对任意，都有xR( )0fx 的单调递增区间为，无减区间。( )f x(,) （2）由（1）知在单调递增，且( )f x(,) (0)10fa 而11(1)(1)aafaaeaa e，1a 10a 10a 11ae110ae (1)0fa使得，0(0,1)xa
12、0()0f x又在是单调函数( )f x(,) 在上仅有一个零点。( )f x(,) （3），令，解得2( )(1)xfxxe( )0fx 1x 点，2( 1,)Pae2OPKae又在处的切线与直线平行，( )f x( , )M m nOP( )OPfmK即22(1)mmeae而要证：321mae只需证：，而32(1)mae22(1)mmeae只需证：32(1)(1)mme即只需证：1mme 构造函数，( )1,xh xexxR( )1xh xe令，解得，解得( )0h x 0x ( )0h x 0x 在单调递减，在单调递增。( )1xh xex(,0)(0,)，即( )(0)0h xh1xe
13、x1mme ，得证。321mae20、 （1）由圆的方程化为标准方程得1C22(3)4xy圆的圆心坐标。1C1(3,0)C（2）设，为过原点的直线 与圆的交点，且为的中点，( , )M x y,A Bl1CM,A B由圆的性质知：1MOMC 10MC MO uuuu r uuu u rg又，1(3,)MCxyuuuu r (,)MOxy uuu u r由向量的数量积公式得2230xxy易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为，llymx当直线 与圆相切时，解得l1C 2|30|2 1md m 2 5 5m 把相切时直线 的方程代入圆的方程化简得，解得l1C2930250xx5 3x 当直线 经过圆的圆心时，的坐标为l1CM(3,0)M又直线 与圆交于两点，为的中点l1C,A BMAB533x所以点的轨迹方
