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1、振动和波动计算题振动和波动计算题1.一物体在光滑水平面上作一物体在光滑水平面上作简谐简谐振振动动，振幅是，振幅是 12 cm，在距平衡位置，在距平衡位置 6 cm 处处速度是速度是 24 cm/s，求，求 (1)周期周期 T； ； (2)当速度是当速度是 12 cm/s 时时的位移的位移 解：设振动方程为，则 tAxcostAsinv(1) 在 x = 6 cm，v = 24 cm/s 状态下有tcos126 tsin1224解得 ， s 2 分3/472. 2s2/3/2T(2) 设对应于 v =12 cm/s 的时刻为 t2，则由 tAsinv得 ， 2sin)3/4(1212t解上式得
2、1875. 0sin2t相应的位移为 cm 3 分8 .10sin1cos22 2tAtAx2. 一一轻弹轻弹簧在簧在 60 N 的拉力下伸的拉力下伸长长 30 cm 现现把把质质量量为为 4 kg 的物体的物体悬悬挂在挂在该弹该弹簧的下端并使簧的下端并使 之静止之静止 ，再把物体向下拉，再把物体向下拉 10 cm，然，然 后由静止后由静止释释放并开始放并开始计时计时求求 (1) 物体的振物体的振动动方程；方程； (2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方 5 cm 时弹时弹簧簧对对物体的拉力；物体的拉力； (3) 物体从第一次越物体从第一次越过过平衡位置平衡位置时时刻起到它运刻起到它运动动
3、到上方到上方 5 cm 处处所需要的最短所需要的最短时间时间 解： k = f/x =200 N/m ， rad/s 2 分07. 7/mk(1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示） ， t = 0 时， x0 = 10Acos，v0 = 0 = -Asin 解以上二式得 A = 10 cm， = 0 2 分 振动方程 x = 0.1 cos(7.07t) (SI) 1 分(2) 物体在平衡位置上方 5 cm 时，弹簧对物体的拉力 f = m(g-a )，而 a = -2x = 2.5 m/s2 f =4 (9.82.5) N= 29.2 N 3 分(3) 设 t1时刻物体在平衡位置
4、，此时 x = 0，即 0 = Acost1或 cost1 = 0 此时物体向上运动， v 0 的状态所需时间 t = 2 s，代入振动方程得 x (m) t = 0 t 0.12 0.24 -0.12 -0.24 O AvAvO 2/A A x A x (cm) t (s) -5 10 O -10 2 (SI) )3/22cos(100则有， = 5 /12 2 分2/33/22故所求振动方程为 (SI) 1 分)3/212/5cos(1 . 0tx7. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1 =510- -2cos(4
5、t + /3) (SI) , x2 =310- -2sin(4t - - /6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程 解： x2 = 310-2 sin(4t - /6) = 310-2cos(4t - /6- /2) = 310-2cos(4t - 2/3) 作两振动的旋转矢量图，如图所示 图 2 分 由图得：合振动的振幅和初相分别为 A = (5-3)cm = 2 cm， = /3 2 分 合振动方程为 x = 210-2cos(4t + /3) (SI) 1 分8. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为两个同方向的简谐振动的
6、振动方程分别为 x1 = 410- -2cos2 (SI), x2 = 310- -2cos2 (SI) )81( t)41( t求合振动方程求合振动方程解：由题意 x1 = 410-2cos (SI) )42(tx2 =310-2cos (SI) )22(t按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 m 22210)4/2/cos(2434A= 6.4810-2 m 2 分=1.12 rad 2 分)2/cos(3)4/cos(4)2/sin(3)4/sin(4arctg合振动方程为 x = 6.4810-2 cos(2t+1.12) (SI) 1 分 9. 一平面简谐波沿一平面简谐波沿
7、x 轴正向传播，其振幅为轴正向传播，其振幅为 A，频率为，频率为 ，波速为，波速为 u设设 t = t时刻的波时刻的波 形曲线如图所示求形曲线如图所示求 (1) x = 0 处质点振动方程；处质点振动方程； (2) 该波的表达式该波的表达式 解：(1) 设 x = 0 处质点的振动方程为 )2cos(tAy由图可知，t = t时 1 分0)2cos(tAy1 分0)2sin(2d/dtAty所以 ， 2 分2/2tt221x = 0 处的振动方程为 1 分21)(2costtAyxOAv1Av2AvxuOt=ty(2) 该波的表达式为 3 分21)/(2cosuxttAy10. 一列平面简谐波
8、在媒质中以波速一列平面简谐波在媒质中以波速 u = 5 m/s 沿沿 x 轴正向传播，原点轴正向传播，原点 O 处质元的振动曲处质元的振动曲 线如图所示线如图所示 (1) 求解并画出求解并画出 x = 25 m 处质元的振动曲线处质元的振动曲线 (2) 求解并画出求解并画出 t = 3 s 时的波形曲线时的波形曲线 解：(1) 原点 O 处质元的振动方程为 ， (SI) 2 分)21 21cos(1022ty波的表达式为 ， (SI) 2 分)21)5/(21cos(1022xtyx = 25 m 处质元的振动方程为 ， (SI) )321cos(1022ty振动曲线见图 (a) 2 分(2)
9、 t = 3 s 时的波形曲线方程 ， (SI) 2 分)10/cos(1022xy波形曲线见图 2 分x (m)O210-25y (m)10 1520u25(b)11. 已知一平面简谐波的表达式为已知一平面简谐波的表达式为 (SI) )37. 0125cos(25. 0xty(1) 分别求分别求 x1 = 10 m，x2 = 25 m 两点处质点的振动方程；两点处质点的振动方程； (2) 求求 x1，x2两点间的振动相位差；两点间的振动相位差； (3) 求求 x1点在点在 t = 4 s 时的振动位移时的振动位移 解：(1) x1 = 10 m 的振动方程为 (SI) 1 分)7 . 312
10、5cos(25. 010tyxx2 = 25 m 的振动方程为 (SI) 1 分)25. 9125cos(25. 025tyx(2) x2与 x1两点间相位差 = 2 - 1 = -5.55 rad 1 分(3) x1点在 t = 4 s 时的振动位移 y = 0.25cos(12543.7) m= 0.249 m 2 分12. 如图，一平面波在介质中以波速如图，一平面波在介质中以波速 u = 20 m/s 沿沿 x 轴负方向传播，已知轴负方向传播，已知 A 点的振动方程点的振动方程为为 (SI) ty4cos1032(1) 以以 A 点为坐标原点写出波的表达式；点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距以距 A 点点 5 m 处的处的 B 点为坐标原点，写出波的表达式点为坐标原点，写出波的表达式t (s)42Oy (cm)2t (s)O -210-21y (m)2 3 4(a)ABxu解：(1) 坐标为 x 点的振动相位为 2 分)/(4uxtt)/(4uxt )20/(
