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1、线性代数试卷 1一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1、五阶行列式中项带的符号为正时， ， ijD14232154ij i j 。2、为单位阵，则三阶矩阵 (1,1,2),(1,1,1),BCI2TIBC。3使向量组线性相关的数 123(1,0,2),(1,1,1),(1,5, )kk 。4的秩为 。1210210111110110A 5设三阶方阵，其中是三维列向量，()123A , ,123 , ,3A则行列式 。 2,2122132 ,6阶方阵满足，则 nA2240AAI1(3 )AI。7，则行列式 。1222A*2A A8与向量正交的向量集合为 。(1,2,3)T9的特征值为 1，
2、则 。200 001 01x Ax 10二次型的矩阵为 ，的秩为 22 123131213( ,)322f x x xxxx xx xf。二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1计算1231231231231 2 1nnnnaaaa aaaa Daaaaaaaan L L L MMMM L2求齐次线性方程组的基础解系123412341342302300xxxxxxxxxxx 3解矩阵方程：,其中，求。2XBXA101020 011 ,001 102110 ABX4设向量，问：取何值231111,1 ,2 ,2111aaa 1a（1）可由唯一线性表示。23,1 （2）不能由线性表示。23,
3、1 （3）可由非唯一线性表示，且求出表示式。23,1 5向量组234(1,0,1,1) ,(2,1,2,3) ,(0,1,0,1) ,(1,1,2,2)TTTT1（1）求此向量的一个极大线性无关组。（2）把其余向量表成极大线性无关组的线性组合。6210120113 A（1）求及的特征值A22BAAI（2）求可逆矩阵及对角阵，使。P1 P AP三、证明题（10 分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，2,s1 L0 m n n lA X证明是22231,sss11s-1s-1 L的基础解系的条件是：（为数）AX011 ( 1)0ss 线性代数试卷 2一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1，元
4、素的代数余子式为 。1120 2052 0161 1073D 43a2三维列向量，则三阶矩阵 。(1,0,2)T3TI3使向量组线性无关的 123(1,0,2),(1,1,1),(1,3, )kk 。4向量组的秩为 2，则 123(1,2,3) ,(0,1,2) ,(1, ,3)TTTaa 。5阶方阵满足，则 。nA2330AAI1()AI6三阶方阵，其中为三维列向1212(, ),(, )A B 12, , 量，则行列式 。2,1ABAB7为阶方阵，齐次线性方程组有非零解的条件是 AnAX0( )r A。8与向量正交的向量集合为 。12(1,0,0) ,(1,1,1)TT9矩阵有一个特征值为
5、 2，则 。10003101a Aa 10二次型的矩阵为 ，222 12311323( ,)22f x x xxx xxx的秩为 。123( ,)f x x x二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1计算（1）， （2）41111411114111144111 111 1141 1111x x x x 2解矩阵方程，其中，求。1 A XIX023 103 010 AX3求齐次线性方程组的基础解系123134020xxxxxx 4非齐次线性方程组123123123323222638xxxbxxxaxxx 问取何值时？（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，, a b并求其解。5设向
6、量组，求向量组23414321011,24220113 1的秩及一个极大无关组。1234a ,a ,a ,a62023103(2 )010 AABAIX（1）求的特征值及特征向量A（2）求矩阵的特征值22BAAI（3）求可逆矩阵，使，为对角阵。P1 P AP三、证明题（10 分）1设线性无关，证明23,1 2223,2,11 线性无关。33132为阶方阵，又设是非齐次线性方An( )1rnA12 ,程组的两个不同的解，证明为非齐次AXb()2k12 12X线性方程组的通解。其中为任意常数。AXbk线性代数试卷 3一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1五阶行列式的一项带负号，则 ， ija
7、D21 143453ija a a a ai j 。2则 。011120 ,3211AB12BA3，行列式 。121 100 211 A1 22()TAA4的秩为 2，则 。11 11 11k k k Ak 5向量组，则 。23101 1 ,1 , 11 16齐次线性方程组仅有零解，则的 个列向量线性 0 m n n lA X m nAn。7阶方阵，且，则 。nA2460AAI1()AI8与，则 100 012 002 A100 00 002x Bx 9向量与正交，则 。1( 1,2,3,3)T 2(4,2, 1, )Taa 10二次型的矩阵为 ，222 12311223( ,)22f x x
8、 xxx xxx通过可逆线性变换,使化为标准型 。X = PY123( ,)f x x x二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）160000000000000000xyabbbbabbDbbabbbbayx2矩阵，满足，求3237A2AXXAX3求齐次线性方程组的一个基础解系12341234123420223033430xxxxxxxxxxxx 4设向量组23(1,0,0,1) ,(1,2,0,1) ,(3,1,1,2) ,TTT14( 1,2,1, 2)T （1）求此向量组的一个极大无关组及秩。（2）求向量在下的线性表示式。423,1 5非求齐次线性方程组，问取何值时方程组有：1231
9、2123012xxxxaxxaxxa a（1）唯一解；（2）无解；（3）无穷多组解，并求解。6设矩阵，311131113 A（1）求的特征值及特征向量A（2）求的特征值12BAI（3）求可逆矩阵，使，为对角矩阵。P1 P AP三、证明题（10 分）设 4 维列向量线性无关，为 4 阶矩阵，证明：234,1 A线性无关的充分必要条件是为可逆矩阵234,1A AA AA线性代数试卷 4一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）1五阶行列式的一项带负号，则 ，ijaD21 143453ija a a a ai 。j 2则 。3121,2112AB12BA3矩阵，则 。101 000 101 A2I+
10、A4矩阵的秩为 2，则 。1111 210 5231t At 5向量组线性无关，则 23134 ,1 ,2310a 1a 。6为阶方阵，则 。An2520AAI1A7阶方阵的个行向量线性无关，则齐次线性方程组nAn的解为 。0AX8与向量正交的向量集为 。12(1,1,0),(1,0,1)9矩阵与相似，的一个特征值为 4，则矩阵的一个特ABA2BI征值为 。10二次型的矩阵为 22 12312121323( ,)222f x x xxxx xx xx x，的秩为 。123( ,)f x x x二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1计算行列式11111 22222 33333na a D
11、annnnna L L L LLLLLL L2解矩阵方程：,，求。2TAXXA101 110 014 AX3求向量组的一个极大线性无关组及23311220215,20311124 1该向量组秩。4求齐次线性方程组的通解及基础解系12341234123420363051050xxxxxxxxxxxx 5设向量组，问为何值231211,1,2 ,45101ab 1, a b时（1）可由唯一线性表示。23,1 （2）不能由线性表示。23,1 （3）能由非唯一线性表示，并求出表示式。23,1 6设矩阵，11041003a A（1）求的特征值。A（2）确定 ，使矩阵相似于对角矩阵，并由此求对角矩阵及可a逆矩阵，使。P1 P AP三、证明题（5 分2=10 分）（1）设为齐次线性方程组的基础解系。证明：23,1 0 m n n lA X也是的基础解系。22233312,2,211
