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1、初中数学竞赛初赛试题答案第 1 页（共 8 页）20092009 年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（1）已知（） ，则的值为（ B ） 17xx01x1xx（A） （B） （C） （D）7575【解】， Q21125xxxx（15xx 又，. 故选（B） Q01x15xx （2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于 2 且小x2230xxm21 于 3，则 m 的取值范围是（ C ） （A） （B） （C） （D）9 8m 9148m95m 142m
2、【解】根据题意，由根的判别式，得设，980m 9 8m 223yxxm由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当时，有，即；2x 860m14m 当时，有，即；1x 230m5m 当时，有，即；2x 860m2m 当时，有，即3x 1890m9m 综上，. 故选（C） 95m （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为1v2v3v（ D ） （A） （B） （C） （D） 123 3vvv1231113vvv1231 111 vvv1233 111 vvv【解】设这段公路长为 3s，则三个不同路
3、段的长度均为 s，此辆汽车在各路段上行 驶的时间分别为（） ，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为i istv1,2,3i yxO12213123初中数学竞赛初赛试题答案第 2 页（共 8 页） 故选（D） 123123123333 111ssvsssttt vvvvvv（4）已知边长为 1 的正方形 ABCD，E 为 CD 边的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿运动，设点 P 经过的路程为，的面积为，则关于ABCExAPEyy的函数的图象大致为（ A ） x【解】由已知，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，如图，当点 P 在 AB 边上运动时，（） ，；APx10 x1 2yx如
4、图，当点 P 在 BC 边上运动时，即（） ，有，ABBPx1BPx12x2CPxABPECPADEABCDySSSS正方形=；11111131(1)(2)12222244xxx 如图，当点 P 在线段 CE 上运动时，有 （） ，ABBCCPx5 2EPx252 x 1551() 12242yxx 故选（A） （5）已知矩形 ABCD 中，AB = 72，AD = 56，若将 AB 边 72 等分，过每个分点分别作 AD 的平行线；将 AD 边 56 等分，过每个分点分别作 AB 的平行线，则这些平行线 把整个矩形分成了边长为 1 的 7256 个小正方形于是，被对角线 AC 从内部穿 过的
5、小正方形（小正方形内部至少有 AC 上的两个点）共有（ D ） （A）130 个 （B）129 个 （C）121 个 （D）120 个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则)56, 0(),0 ,72(),0 , 0(DBA)56,72(C因为 AC 与水平线（含 AB 与 DC） 、竖直线（含 AD 与 BC）中的每一条都相交，ABCEPD图ABCDEP图ABCDG EP图x （D ）yO2.5 （A ）1（B ）xyO2.51（C ）xyO2.51xyO2.51初中数学竞赛初赛试题答案第 3 页（共 8 页）所以有 57 + 73 = 130 个交点（含重合的交点） 由表示直线 AC
6、 的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）7 9yx9k7k（0，1，2，8） 即有 9 个重合的交点k 因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线 AC 分成 120 段，每段仅穿1309121 过 1 个小正方形，于是 AC 共穿过 120 个小正方形故选（D） 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 7 分，满分 35 分)（6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，xyx所确定的点在双曲线上的概率等于.y( , )M x y6yx1 9【解】1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5
7、,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)其中点（1，6） ， （6，1） ， （2，3） ， （3，2）在双曲线上，因此所求的概率等6yx于1 9（7）计算 （的整数）的值等于 100 999 999 1999nnnnLLL123123123 个个个2n 【解】根号内的被开方数可化为2999 999 10999999 (999 1) 10999 101010 .nnnnnn
8、nnnnnLLLLL123123123123123L123个个个个个个所以2999 999 199910100nnnnnnLLL123123123 个个个（8）若是质数，且整除，则的末位数字是 2 .p3p 5p2009p【解】当时，5 能整除 10；2p 35p 510p x y初中数学竞赛初赛试题答案第 4 页（共 8 页）当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满p3p 5pp足“ 整除”的条件.3p 5p综上，.于是.2p 2009200945025022(2 )22 16p由的末位数字是 6，所以的末位数字是 2.502162009p（9）如图，四边形 ABCD 中，
9、105ACBBAD ，若，则的长为45ABCADC 2AB CD2 【解】如图，过点 A 作与 BC 的延长线交于点 E，EAAB 则.90EAB 在中，由，得ABC45ABC105ACB30CAB60EACEABCAB ，又，105BAD75DACDABCAB 18075ACEACBDACACE 又在ACD 中，18060ACDDACADCACDEAC ACECAD有CDAE 而在 RtABE 中，.45ABC2AEAB2CD （10）如图所示，在圆环的 10 个空格内分别填入 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相
10、加，若使这个和最大，则此最大值为 50 【解】设相邻格子内的两数为，且，则，共有 10 个差，ababbaba要使这 10 个差的和最大，其中 10 个被减数应当尽量大，10 个减数应当尽量小，而ab每个数仅与两个数相邻，所以，将 10，9，8，7，6 各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为 2(109876)2(54321)50如图，是满足条件的一种填数字的方法三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 20 分，共分，共 80 分）分） （11） （本小题满分 20 分）54 67109 8 3 21DCBAE
11、初中数学竞赛初赛试题答案第 5 页（共 8 页）已知 ， 求的值.2xy xy3xz xz4yz yz752xyz【解】， 2xy xy111 2xy同理 ， 111 3xz. 10 分111 4yz由+-， 得，解得.2111 234x24 7x由+- ，得，解得.2111 243y24 5y 由+- ，得，解得.2111 342z24z 所以，. 20 分7520xyz（12） （本小题满分 20 分） 从一个等边三角形（如图）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一 段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图） ；然后在六角星各边上， 用同样的方法向外画出更小的等边三角形，
12、形成一个有 18 个尖角的图形（如图） ；如 果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图） ，继续下去，图 形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科 赫雪花曲线如果设原等边三角形边长为 a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长” ，例如，第 1 次生长后，得图，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为1 3a4a请填写下表：（用含的代数式表示）a第 1 次 生长后第 2 次 生长后第 3 次 生长后.第 n 次 生长后每个小等边 三角形的边长1 3a图图图图图图图图初中数学竞赛初赛试题答案第 6 页（共 8 页）所形成的 图形的周长4a
13、【解】第 1 次 生长后第 2 次 生长后第 3 次 生长后.第 n 次 生长后每个小等边 三角形的边长1 3a1 9a1 27a1( )3na所形成的 图形的周长4a16 3a64 9a14 3nna（13） （本小题满分 20 分）已知，为正整数，关于的方程有正整数解，求，mnx2()0xmnxmnm的值n【解】设方程的两个根为，则2()0xmnxmn, .mn mn 由，均为正整数，不妨设1，1，mnmn于是，()mnmn即 10 分(1)(1)(1)(1)2mn当时， ，有(1)(1)2(1)(1)0mn1n只有=3，=2，此时；5m 当时， ，(1)(1)1(1)(1)1mn只有=2，=2，此时，；2m 2n 当时，有=1，(1)(1)0(1)(1)2mn得，3m 2n 所以， 或 或 20 分5, 1;m n 2, 2;m n 3, 2.m n 10 分20 分初中数学竞赛初赛试题答案第 7 页（共 8 页）（14） （本小题满分 20 分）已知点是锐角内的一个点，且使最小，试确定点的位PABCPCPBPAP置，并证明你的结论【解】如图，分别以为边向外作正，正，BCAC,ACBBCA连接交于点，则点即为所求 5 分, AABBPP证明如下：易证BCBCAA有CAABCBo60BCABPA与为对顶角，
