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1、1【2012 考研必备资料考研必备资料】高等数学知识点归高等数学知识点归 纳纳第一讲第一讲: 极限与连续极限与连续一. 数列函数:1. 类型:(1)数列: *; *( )naf n1()nnaf a(2)初等函数: (3)分段函数: *; *;*0102( )( ),( )xxf xF xxxfx00( )( ),xxf xF xxxa(4)复合(含)函数: f( ),( )yf uux(5)隐式(方程): ( , )0F x y (6)参式(数一,二): ( ) ( )xx t yy t (7)变限积分函数: ( )( , )xaF xf x t dt(8)级数和函数(数一,三): 0( )
2、,n n nS xa xx2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (单调定号)( )f x000, ()( ( )()xxxf xf x (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11( )( )( )yf xxfyyfx二. 极限性质:1. 类型: *; *(含); *(含) limnna lim( ) xf x x 0lim( ) xxf x 0xx2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型: 000, 1 , 0, 0 ,04. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: , , , 1 1nn 1 (0)1naa 1 ()max( ,
3、, )nnnnabca b c00!naan2, , , ,1(0)xx 0lim1xxx lim0nxxx elnlim0nxx x, 0limln0nxxx 0,xxex 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当时,( )0u x ; ; ;sin ( )( )u xu x:tan ( )( )u xu x:211 cos ( )( )2u xux:; ; ;( )1( )u xeu x :ln(1( )( )u xu x:(1( )1( )u xu x :; arcsin ( )( )u xu x:arctan ( )( )u xu x:2. 泰勒公式:(1); 2211()2!xexxo
4、 x (2);221ln(1)()2xxxo x(3); 341sin()3!xxxo x(4);24511cos1()2!4!xxxo x (5).22(1)(1)1()2!xxxo x 五. 常规方法:前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:)0,1 ,0M 00, 0, 0 ,1tx1. 抓大弃小, () 2. 无穷小与有界量乘积 () (注:)M1sin1,xx 3. 处理(其它如:)1000 , 4. 左右极限(包括):x (1); (2); ; (3)分段函数: , , 1(0)xx()xex 1 (0)xex x xmax( )f x5. 无穷小等价替换(因式中
5、的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与)0 01lnlim1xxx x0lnlim1xxx x3(2)幂指型处理: (如: )( )( )ln ( )( )v xv xu xu xe11111 11(1)xxxxxeeee(3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小8. 极限函数: (分段函数)( )lim( , ) nf xF x n 六. 非常手段1. 收敛准则:(1)( )lim( )nxaf nf x (2)双边夹: *, *?nnnbac,?nnb ca(3)单边挤: *
6、* *1()nnaf a21?aa?naM( )0?fx 2. 导数定义(洛必达?): 00lim() xffxx VV V3. 积分和: ,10112lim ( )( )( )( ) nnffff x dxnnnnL4. 中值定理: lim ()( )lim( ) xxf xaf xaf 5. 级数和(数一三):(1)收敛, (如) (2),1n nalim0nna 2!limnnnn n12 1lim()nnnnaaaaL(3)与同敛散na1 1()nn naa 七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *( ),(0)?nf xkxx :(1)(1)( )(0)(0)(0)0,(0
7、)nnffffaL( )()!nnnaaf xxxxnn:(2) 00( )xxnf t dtkt dt:2. 渐近线(含斜):(1)( )lim,lim ( ) xxf xabf xaxx( )f xaxb:(2),()( )f xaxb10x3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)( )fx八. 上连续函数性质 , a b41. 连通性: (注:, “平均”值:)( , ) ,fa bm M01 0( )(1) ( )()f af bf x2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: (根的个数);( ) ( )0f a f b
8、 0()0f x(2).( )0( )0xaf xf x dx第二讲第二讲:导数及应用导数及应用(一元一元)(含中值定理含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: ; ( )fx 0()( )lim xf xxf x xVV V0()fx000( )()lim xxf xf x xx (1) (注:连续) 0( )(0)(0)lim xf xffx 0( )lim( xf xA fx(0)0,(0)ffA(2)左右导: ; 00(),()fxfx(3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导)0x xx x2. 微分与导数: ()( )( )()( )ff xxf xfxxoxdffx
9、dxVVVV(1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);, f df“0“二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: )( )f x2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1 dx dyy三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3)( )fa( )x afx0()()lim hf xhf xh h(注: , 求:及的连续性)00( )( ),xxF xf xxxa0(),( )fxfx( )fx2. 初等导(公式加法则):(1), 求:(图形题); ( )uf g x0()u x(2), 求: (注: )( )(
10、)xaF xf t dt( )F x( , ), ( , ), ( )xbbaaaf x t dtf x t dtf t dt(3),求及 (待定系数)0102( ),( )xxf xyxxfx 00(),()fxfx0()fx53. 隐式()导: ( , )0f x y 22,dy d y dxdx(1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): , 求:( ) ( )xx t yy t 22,dy d y dxdx5. 高阶导公式:( )( )nfx; ;( )()axnnaxea e( ) 11!()()n n nb n abxab
11、x; ( )(sin)sin()2nnaxaaxn( )(cos)cos()2nnaxaaxn( )( )1(1)2(2)()“nnnn nnuvuvC uvC uvL注: 与泰勒展式: ( )(0)nf2012( )n nf xaa xa xa xLL( )(0)!nnfan四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线)( )yf x0M0M2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 23“( )( 1 ( )fxfx 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导)
12、1. 判别(驻点):0()0fx(1) ; ;( )0( )fxf xZ( )0( )fxf x(2)分段函数的单调性(3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值).( )0fx “( )0fx 2. 极值点:(1)表格(变号); (由的特点)( )fx0002( )( )( )lim0, lim0, lim00 xxxxxxfxfxfxxxxx(2)二阶导()0()0fx注(1)与的匹配(图形中包含的信息);f,“fff6(2)实例: 由确定点“”的特点.( )( ) ( )( )fxx f xg x0xx(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)3. 不等式证明()( )
13、0f x (1)区别: *单变量与双变量? *与? , xa b ,),(,)xax (2)类型: *; *0,( )0ff a0,( )0ff b*; *“0,( ),( )0ff af b00“( )0,()0,()0fxfxf x(3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: )max( )( )f xMfxM4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导!):1. 表格; ()“y 0“()0fx2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.f七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)1. 结论: ( )( )( )( )0F bF aFf2. 辅助函数构造实例:(1)( )f( )( )xaF xf t dt(2)( ) ( )( ) ( )0( )( ) ( )fgfgF xf x g x(3)( )( ) ( )( ) ( )0( )( )f xfgfgF xg x(4); ( )( ) ( )0ff ( )( )( )x dxF xef x3. 有个零点有个零点( )( )0( )nff x1n(1)( )nfx24. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定)( )( )nfa( )( )( )nF xf xP x1n( )nP x5. 注: 含时,分家!
