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1、1信号及其描述习题信号及其描述习题1.1 求周期方波（图 1-4）的傅立叶级数 （复指数函数形式） 。画出频谱图|Cn| ；n 图并与表 1-1 对比。 解：傅立叶级数的复指数形式表达式： , 3, 2, 1, 0;)(0neCtxntjn n式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2 求正弦信号 x(t)=x0sint 的绝对均值 |x |和均方根值 x rms 解：1.3 求指数函数 的频谱。解： , 6, 4, 2;0, 5, 3, 1;2cos12111)(1)(1200002002 002022000000000000nnnA
2、jnnAjeenjA njAejnA TejnA TdtAedteATdtetxTCjnjnTtjnTtjnT tjn TtjnTTtjn n , 7, 5, 3, 1;2)(0nenAjtxtjnn , 5, 3, 1;222nnACCCnInRn , 5, 3, 1;2, 5 , 3 , 1;2 02nnnAarctgCCarctgnRnI n 2;2sin1)(lim00000 00TxtdtxTdttxTTTx式中：2sin1)(1002 0 002000xdtdtxTdttxTxTTrms)0; 0( ;)(tAetxtfjAdteAedtetxfXftjtftj 2)()( 022
3、 21.4 求符号函数（题图 1-1a）和单位阶跃函数（题图 1-1b）的频谱.解:1) 符号函数的频谱: 令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5 求被截断的余弦函数 cos0t（题图 1-2）的傅立叶变换。解：1.6 求指数衰减振荡信号（见图 1-11b）： 的频 谱 解：1.7 设有一时间函数 f(t)及其频谱(题图 1-3 所示)，现乘以余弦型振荡 cos0t ，(0m)。 在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦型振荡 cos0t 叫做载波。试求调幅信 号 f(t)cos0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 0m时将会 出现什么情况？fjdteedteedtetxf
4、Xtxetxftjtftjtftjt1) 1(lim)()(;)(lim)(022002 1101fjdteedtetxfXtxetxftjtftjt21lim)()(;)(lim)(0202 2202 TtTtttx;0;cos)(02100002222 02sinsin2)(2)(sin 2)(2)(sin212cos)()(00 ccTTffTff TffTffTdteeedttefdtetxfXftjtfjtfjTTTTftjftj)0, 0(;sin)(0ttetxt )(21 )(21 222sin)()(002022200200ffjffjjdteeejedtetfedtetxf
5、Xftjtfjtfjtftjtftj3解：当 0m时，将会出现频率混叠 现象1.8 求正弦信号 x(t)=x0sin（0t+）的均值 x 和均方值 x2和概率密度函数 p(x)解：将 x(t)=x0sin（0t+）写成（0t+）=arcsin(x(t)/ x0) 等式两边对 x 求导数：2.2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s，2s，5s 的正弦信号，问幅值 误差将是多少？解： XY jjH135. 01 11 2277 . 01135. 011 A当 T=1s 时，即，误差为 59% 41. 01AxYAA41. 0当 T=2s 时，误差为 33% 67. 02
6、A当 T=5s 时，误差为 8% 90. 03A2.3 求周期信号，通过传递函数为o45100cos2 . 010cos5 . 0tttx的装置后所得到的稳态响应。 105. 01 ssH解： 利用叠加原理及频率保持性解题oo45100sin2 . 09010sin5 . 0tttx)22(21)22(2121)(2cos)()()(002222 0200ffFffFdteeetfdtetftfdtetxfXftjtfjtfjftjftj )(1)(11 122 002000txxxtxx dxdt )(1221limlim1lim)(22 000txxdxdt TTt xTT xxp xxT
7、x 4， 22005. 01111 A 005. 0arctg，101 11A o86. 21， oo86. 29010sin15 . 01ttx， ，1002 89. 02A o57.262 oo4557.26100sin89. 02 . 02ttyoo43.18100sin)178. 0(14.8710sin5 . 0ttty2.7 将信号输入一个传递函数为的一阶装置后，试求其包括瞬态过程tcos 121 ssH在内的输出的表达式。ty解： o90sincostttx， 11 ssH 211 A arctg arctgtty o90sin 112= arctgt cos 1122.8 求频
8、率响应函数的系统对正弦输入2176157753601. 013155072 jj的稳态响应的均值显示。ttx8 .62sin10解： 写成标准形式 22221nnn jjjaH 21256125621256 101. 01222 jj 21577536176 12568 .621101. 08 .6211222 A57 . 199. 069. 1对正弦波，122107 . 12Aux2.9 试求传递函数分别为和的两个环节串联后组2224 . 1 5 . 1nnSS22224 . 1 41nnn SS 成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）解： 21HHH， 173 5 . 05 . 3 5 .
9、11SSH31S， 22224 . 1 41nnn SSH412S12341321SSS2.10 想用一个一阶系统作 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，则时间 单常数应去多少？若用该系统测试 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解： 由振幅误差 %511|00AAA AAAEIII %95A即 ， %95 112 A，95. 01002112 ts41023. 5当，且时1005022fs41023. 5 %7 .98 1001023. 51124 A 此时振幅误差%3 . 1%7 .9811E o3 . 91001023. 54arctg2.11
10、某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为 800Hz，阻尼比，问使用该传感器作频率为 400Hz 的正弦力测试时，其振幅比和相角差14. 0 A各为多少？若该装置的阻尼比可改为，问和又将作何种变化？ 7 . 0 A 6解： 作频率为 400Hz 的正弦力测试时 2222 411 nnA2 22280040014. 0480040011 31. 1 2 12 nnarctg2800400180040014. 02 arctgo6 .10当阻尼比改为时7 . 0 97. 08004007 . 04800400112 222 A o4380040018004007 . 022 ar
11、ctg即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相 位差变大。 2.12 对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为 1.5 的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为 6.28s。设已知该装置的静态增益为 3， 试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 解： 最大超调量5 . 1211 eM7即 13. 015 . 1ln12 且 28. 62ddT 128. 6212nd01. 113. 0111122 n系统的传递函数 1222 nnSSk sXsYsH 101. 113. 0201. 1322SS该装置在无阻尼固有频率处的频率响应由 122 nnjjK XYjH nnjK212 j jKjHnnn26. 03212 为有阻尼固有频率dM=0.5，12Td215. 01ln1212 MeM 8， 21nd02. 112 d nS=3 SSSsHnnn2222304. 144. 004. 12SS（时代入得） 98. 63 412 nAn o90,21A 2arctg
