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1、34概率论与数理统计习题及答案第 四 章1一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字 1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以分别表示第一次，第二次取出的球,X Y上的标号，求的分布列.(, )X Y解 的分布列为(, )X Y123 1110612 1112666 1130126 其中 (1,1)(1) (1|1)0P XYP XP YX(1,2)(1) (2|1)P XYP XP YX121 436余者类推。2将一枚硬币连掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示XY三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出的分布列及(, )X Y边缘分布列。解 一枚硬币
2、连掷三次相当于三重贝努里试验，故 1(3,).2XB，于是的分布列和边缘分布为3 31()( ) ,0,1,2,32kP XkCk(, )X YXY350123336100888 112300888 1331 8888jipp其中 ，(0,1)(0) (1|0)0P XYP XP YX，13 313(1,1)(1) (1|1)( )128P XYP XP YXC 余者类推。3设的概率密度为(, )X Y1(6),02,24,( , )8 0,.xyxyf x y 其它又（1）；（2）。求( , )|1,3Dx yxy( , )|3Dx yxy (, )PX YD解 （1）13021( , )(
3、6)8Px yDxy dxdxy ；1194368228（2）13021(, )(6)8xPX YDxy dxdy 11200113(1)(3)482xx dxxdx.5 244设的概率密度为(, )X Y22222(),( , ) 0,.C RxyxyRf x y 其他求（1）系数；（2）落在圆内的概率.C(, )X Y222()xyrrR解 （1）22222232001()RxyRCRxydxdyC RCr drdYXxx+y=3422y36，33 32 33RRCRC.33CR（2）设，所求概率为222( , )|Dx yxyr22222 33(, )()xyrPX YDRxydxdyR
4、.32 2 323232133rrrRrRRR5已知随机变量和的联合概率密度为XY4,01, 01( , )0 ,.xyxyf x y 其它求和的联合分布函数.XY解1 设的分布函数为，则(, )X Y( , )F x y( , )( , )xyF x yf u v dudv 001001000 ,00,4,01, 01,4,01,1,4,1, 01,1 ,1,1.xyxyxyuvdudvxyuydudyxyxvdxdvxyxy 或22220,00,01, 01,01,1,1, 01,1 ,1,1.xyx yxyxxyyxyxy 或解2 由联合密度可见，独立，边缘密度分别为,X Y2 ,01,
5、( )0 ,;Xxxfx 其他2 ,01,( )0 ,.Yyyfy 其它边缘分布函数分别为，则( ),( )XYFxFy3720,0,( )( ),01,1 ,1.xXXxFxfu duxxx 20,0,( )( ),01,1 ,1.yYXyFyfv dvyyy 设的分布函数为，则(, )X Y( , )F x y22220,00,01, 01( , )( )( ),01,1,1, 01,1 ,1,1.XYxyx yxyF x yFxFyxxyyxyxy 或6设二维随机变量在区域，内服从均匀分布，(, )X Y:01Dx|yx求边缘概率密度。解 的概率密度为(, )X Y1,( , ),( ,
6、 )0,.x yDf x y 其他关于和的密度为XY0 ,01 ( )( , ),01,xXxxx fxf x y dydyx或2 ,01,0 ,.xx 其他110,1,10, ( )( , ) ,01,0 ,1.yYyydxy fyf x y dx dxyy 1,10, 1,01,0 ,.yy yy 其他1 |,| 1,0,.yy 其他7设的概率密度为(, )X Yyx10Dx+y=1 1yx0x=y38,0,( , )0 ,.yexyf x y 其他求边缘密度和概率(1)P XY解0,0,0,0,( )( , ),0.,0;Xxyxxxfxf x y dyexe dyx 00 ,0,0 ,
7、0,( )( , ),0.,0;yYyyyyfyf x y dxyeye dxy11112200 1(1)( , )()xyxxx x yP XYf x y dxdye dy dxee e dx .1 121 2ee 8一电子仪器由两个部件组成，以和分别表示两个部件的寿命（单XY位：千小时）已知的联合分布函数为：,X Y0.50.50.5()1,0,0( , )0,.xyx yeeexyF x y 其他（1）问是否独立？为什么？,X Y（2）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率.解 （1）先求边缘分布函数：0.51,0,( )lim( , )0,0.xXyexFxF x yx 0.51,
8、0,( )lim( , )0,0.yYxeyFyF x yy 因为，所以独立.( , )( )( )XYF x yFxFy,X Y（2）(0.1,0.1)(0.1) (0.1)1(0.1)1(0.1)P XYP XP YP XP Y.0.050.050.1eee9设的概率密度为(, )X Y(),0,0,( , )0,.x yexYf x y 其他间是否独立？,X Y解 边缘密度为3900,0,0 ,0,( )( , ),0.,0;Xxxyxxfxf x y dyexe e dyx 0 ,0,( ),0.Yyyfyey因为 ，所以独立.( , )( )( )XYf x yfxfy,X Y10设
9、的概率密度为(, )X Y8,01,( , )0 ,.xyxyf x y 其他问是否独立.,X Y解 边缘密度210,01,4 (1),01,( )( , ) 0,8,01.Xxxxxxxfxf x y dy xydyx或其他;304,01,8,01,( )( , ) 0 ,0,yYyyxydxyfyf x y dx其他;其他;因为，所以不独立。( , )( )( )XYf x yfxfy,X Y11设的概率密度为(, )X Y1,| 1, | 1,( , )4 0,.xyxYf x y 其他试证明与不独立，但与是相互独立的。XY2X2Y证 先求的联合分布函数,X Y( , )F x yy=x
10、1yx0yx040111111110,11,1,| 1, | 1,4 1( , ),| 1,1,4 1,1, | 1,4 1,1,1;xyxyxyuvdudvxyuvF x ydudvxyuvdudvxyxy 或220,1111(1)(1)(1)(1),| 1,416 1(1),1, | 12 1(1),| 1,1,2 1,1,1.xyxyxyxyxyxxyxy 或关于的边缘分布函数为X0 ,1,1( )lim( , )(1),11,2 1 ,1.XyxFxF x yxxx 关于的边缘分布函数为Y0,1, 1( )(1),11,2 1,1.YyFyyyy 因为，所以不独立.(, )( )( )
11、XYF X YFxFy,X Y再证与独立：设的联合分布函数为，则2X2Y22,XY1( , )Fz t0,0 22 1( , )(,),zt Fz tP Xz YtPzxztYt 41(,)(,)(,)(,)FztFztFztFzt0 ,00,01, 01,1, 01,01,1,1 ,1,1.zttzzttztzztzt 或关于的边缘分布函数分别为22()XY210 ,0,( )lim( , ),01,1 ,1.XtzFzFz tzzz 20,0,( ),01,1 ,1.YtFtttt 因为，所以与独立.221( , )( )( )XYFz tFzFt2X2Y证2 利用随机向量的变换（参见王梓
12、坤概率基础及其应用83 页）设 .22,ZXTY函数的反函数为的反函数为2zx2 12,;xzxzty 12,.ytyt ，；11111110,12 140,2xx zztJztyy tzt 221112211,4JJJJzt 42于是的概率密度函数为22(,)XY221 11( , )(,)|ijij ijfz tf xyJ111111,01, 01,4 40 ,.ztztztztzt zt 其他1,01, 01,4 0,ztzt 其它.关于的边缘密度为2X211,01,( )( , )2 0,.Xzfzfz t dtz 其它关于的边缘密度为2Y21,01,( )2 0,.Ytftt 其他因为，所以独立.221( , )( )( )XYfz tfzft22,XY12设随机变量与相互独立，下表列出了二维随机变量的联XY(, )X Y合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中XY空白处.YX1y2y3yiiP Xxp1x1 82x1 8()ijP Yyp1 61解 设(,)1,2,1,2,3.ijijP XxYypij由联合分布和边缘分布的关系知43111 24p 由独立性 ，即 ，故，11111311()68ppp13111 4248p131 12p，11111 248124p23 4p， 所以 ，222213
