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1、1浅谈辅助线添加方法与技巧的教学浅谈辅助线添加方法与技巧的教学 北京市丰台区长辛店学校 刘改琴 辅助线是沟通题目中的已知条件和所求结论的一座桥梁,有 了这座桥梁我们就可以比较顺利的解决问题,没有这座桥梁我们 将无法到达胜利的彼岸。辅助线的添加是数学解题教学中的一个 难点问题，原因在于它需要学生自己根据题意去判断是否需要添 加辅助线,在此基础上还能合理选择适当的辅助线，要求学生有 一定的解题方法和技巧的积累。 实践证明，大多数学生在辅助线添加问题上的解题障碍主要 表现在以下三个方面：不知道在什么情况下需要添加辅助线、怎 么添加辅助线和怎么应用添加的辅助线。针对学生存在的障碍， 教师在解题教学过程
2、中应该注重那些教学策略才能有效地帮助学 生解决困难？下面我以相似三角形这一章为例来谈一谈我对 辅助线教学的一些认识： 一、一、归纳基本图形训练学生的识图能力。归纳基本图形训练学生的识图能力。 在探求结论是等积式(或比例式)的几何问题时,学生经常会 遇到困难, 不能有效建立已知条件和所求结论之间的关系；学生 若能根据题设条件和图形特征,恰当添加辅助线,巧构相似三角形,往 往会使得某些看似困难的几何题目迅速找到解题途径。 相似三角形的证明中辅助线的添加主要有两类：一是通过作 平行线构造相似三角形；二是通过作相等角来构造相似三角形。 首先在相似三角形的教学过程中要注重对基本图形的提炼，并让 学生了解
3、各个图形的特征。相似三角形的基本图形“A”型图、 “X”型图，通过一组平行线来构造相似三角形；“”图形及 其变形形式，通过作相等的角来构造相似三角形，从而利用平行 线分线段成比例定理或相似三角形三边对应成比例来求解。对于 题目本身存在的基本图形学生能熟练应用，而对于需要添加辅助 线构造基本图形的题目，则要引导学生从图形和结论出发去分析 问题，提高学生的识图能力。2二、揭示思维过程二、揭示思维过程思维的过程包括分析、综合、比较、分类、抽象、概括、 具体化、系统化等。1大多数学生对于此类题目存在不知是否需 要添加辅助线，如何添加辅助线的问题，所以在解题教学过程中 要注重解题思维过程的揭示，教给学生
4、思考的方式和方法。 （一）展示学生的思维过程，揭示学生的思维缺陷。（一）展示学生的思维过程，揭示学生的思维缺陷。 多数学生对于需要添加辅助线的证明题没有解题思路，感觉 无从下手，即使部分学生知道需要添加辅助线，也不知在什么位 置添加什么辅助线。针对学生存在的问题教师在解题教学过程中 要尽可能的展示学生的思维过程，发现学生在思维的那个环节出 现了问题，以便及时调节自己的教学进度和教学方法。下面以具 体实例说明: 问题 1 如图，ABC,D 为 AB 上 一点，E 为 AC 上一点，连接 DE 交 BC 延长线于点 F,且 BD=CE。求证：DFABEFAC问题 1 是相似三角形中典型的等积式证明
5、题，题目给出后由 学生去读题、标图、分析已知条件和结论。 等积式等积式 DFABEFAC比例式比例式 DFEF ACAB存在 不存在构造通过学生分析解题思路：“从等积式入手，先把等积式化成 比例式，然后找相似三角形，可我没有找到相似三角形。 ”发现 学生的问题在于不会添加辅助线来构造相似三角形，此时可以给EABCFD找找相相似似三三角角形形 存在存在找相似三角形找相似三角形3学生一定的时间让学生去尝试添加辅助线，少部分学生会得到启 发，而多数同学仍不知添什么？怎么添？接下来则由学生来展示 他们的解题思路，追问他是怎样想到的？为什么这么做？而不只 是简单的解法介绍。若学生还是没有解题思路，则要引
6、导学生去 观察所求比例式的特点（两条线段在同一直线上） ， “A”型图和 “X”型图的特征，发现由它们可以直接得出在同一直线上的两 条线段的比，从而让学生自发的去构造在同一直线上的两条线段 的比。 因为学生比较习惯于在三角形的内部添加辅助线，所以学生 解法如下： 解法一：过 D 点作 DGAC ，构造两个“A”型图，等量代换去 证明。, DGCE DFEFACDG ABBD BD=CEDGCE DGDB ACABDFEF ACABDFABEFAC 解法二：过 D 点作 DMBF 则构造了一个“A”型图和一个“X” 型图。, ，MCCE DFEFACAM ABADMCAM DBAD BD=CE，
7、AMAD ACABMCAM CEADMCCE AMADDFEF ACABDFABEFAC 解法三：分析比例式的左边和右边，发现它们没有分布在两个三 角形中，所以只能通过构造两对相似三角形，利用等量代换来证 明。 过点 E 作 ENAB（构造两个“A”型图）GEABCFDMEABCFD4, BDNE DFEFABNE ACCE CENE ACAB BD=CEBDNE ACABACAB DFEFDFABEFAC 解法四：过点 E 作 ENBC（构造两个“A”型图）BNAB CEAC BDBN DFEF,CEBN ACAB BD=CEBDBN ACABACAB DFEFDFABEFAC （二）教师合
8、理设置问题，激发学生的思维。（二）教师合理设置问题，激发学生的思维。数学家乔治波利亚在怎样解题中提出：中学数学教育 的根本宗旨是“教会学生思考”然而学生在解题过程中由于思维 受阻，经常遇到困难，这时就需要教师要善于捕捉学生思维的分 界点，合理设置问题给予学生必要的引导，逐层升入分析问题， 要点在临界点，拨在关键处。 问题 2 已知：ABC，AD 为 BC 边上的中线， 过ABC 的顶点 C 任作一直线 CF 分别交 AD、AB 于 点 E 和 F，求证：AE: ED=2AF：FB 题目给出后首先由学生来分析解题思路:标图、 由已知想可知？看结论，找关系。带着问题去分 析：习题与例题的相同点？不
9、同之处？能否消除 两者的差异？通过与问题 1 的对比，学生找出两者的相同点和不 同点：相同点都是证明等积式（比例式） ，已知条件中都有相等 线段；不同点问题 2 中多了一个系数 2，相等线段变为同一直线 上（中点） 。如何引导学生从平行线和中点性质出发去消除差异，EDBCAFNEABCFDNEABFDC5即将两个问题转化为一个问题来解决，并体会转化思想在数学中 的应用是关键。所以教师在问题提出后给予学生充分的时间和空 间来思考问题，学生在思考的过程中出现迷惑的目光，这就是学 生思维的迷茫之际，即思维的临界点。教师可以从两个方面来突 破：（1）利用中点性质能否出现 2 倍关系？（2）还利用什么知
10、 识可以出现 2 倍关系？根据学生已有的知识学生会比较容易想到 平行线。然后由学生来尝试不同解法并展示： 解法一：过点 D 作 DGFC 交 AB 于 G. （构造两个“A”型图），FGAF EDAEDCBD GFBGAD 为 BC 边上的中线 BD=DC BG=GFFBAF FGAF2AE: ED=2AF：FB 解法二：过点 D 作 DHAB 交 FC 于 H. （构造一个“A”型图和 一个“X”型图）,HDAF EDAE21BCCD BFHDHD=BF21AE: ED=2AF：FB此时教师启发学生还有没有其他的辅助线的添加方法，已知 条件中的相等线段变成了中点，利用中点又可以得到那些结论？
11、 利用中点可以构造全等三角形，利用全等可以得什么结论？可不 可以在三角形的外部来添加平行线？比如过 A 点作平行线可以作 平行线吗？学生尝试添加辅助线，发现过 A 点可以做两条平行线 分别构造了两个“X”型图和两个“A”型图，通过两个基本图形 的等量代换就能证明结论。解法三：过点 A 作 AGBC 交 CF 延长线于点 G. （构造两个GFDABCEHFDABCEGEDABCFHEDABCF6“X”型图），CDAG EDAEBCAG FBAF D 为 BC 中点 BC=2BD=2CDEDAE CDAG BCAG FBAF 22FBAF EDAE2解法四：过点 A 作 AHFC 交 BC 延长线
12、于点 H.（构造两个“A” 型图），CDCH EDAEBCCH FBAF D 为 BC 中点 BC=2BD=2CDEDAE FBAF 2FBAF EDAE2此时学生的思维活动达到最高峰，创新的欲望会促使学生再 去尝试过 B、C、E、F 分别去作平行线： 过 B 点作平行线过 C 点作平行线LFDABCEKFDABCEJIFDABCEMFDABCENFDABCE7过 E 点作平行线过 F 点作平行线学生通过观察、思考和解答发现，过 E 和 F 点做平行线不能 有效的利用已知条件进行等量代换，不能顺利解答。此时为学生 思维活动的另一临界点，学生迷惑于过每个点都可以做平行线， 解法很多为什么有些点可
13、以解答有些点却不能解答呢？教师要引 导学生去观察并总结多种解法的共性，从而总结出解题的方法和 辅助线的添加原则。 三、善于总结解题规律，透析问题的实质。三、善于总结解题规律，透析问题的实质。通过一题多解，可以有效地发展学生的思维能力，通过对多 种解法的对比有利于学生找到多种解法的共性，以便学生更好地 了解题目的本质，掌握解题的关键和原则。所以教师在教学的过 程中还要注重总结解题的方法和原则，总结的过程是学生所学知 识的内化过程，是在学生原有基础上的一个升华，只有掌握了问 题的本质学生才能做到以不变应万变。 （一）一题多解，多题归一。（一）一题多解，多题归一。通过问题 1 和问题 2 的解决让学
14、生通过观察对比多种解法， 找出多种解法的共性，分析并总结出证明等积式的通法，使多种 解法最终呈现出一个通法；通过问题 2 中过 E 和 F 两点的反例启 发学生总结出辅助线的添加原则和一般的技巧。 解题方法： （1）先把等积式化成比例式，然后找相似三角形。 （2）没有相似三角形，则需添加平行线构造相似三角形。辅助线添加的原则和技巧： （1） 等积式中的线段都是基本图形中的比例线段。 （2） 构造平行线后，BD 和 CE 能作为基本图形中的比例线MEDABCFOEDABCFMNEDABCFMNEDABCFNEDABCFGHEDABCF8段。 （3） 一般情况下构造比例式中在同一直线上的两条线段的
15、 比。 （二）变中找同，同中求异。（二）变中找同，同中求异。 在解相似三角形问题时，要关注相似三角形的基本图形，相 似三角形的基本图形除了“A”和“X”型外，还有双垂直图形。 学生除了能利用已知条件合理选择添加平行线外，还要善于将复 杂图形进行分解，分解出相似的基本图形去求解，从而简化解题 过程。比如下面一道例题：问题 3 如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，ADBC 于点 D， 点 O 是 AC 边上一点，连接 BO 交 AD 于 F， OEOB 交 AD 边于点 E （1）求证： ABF COE ； （2）当 O 为 AC 边中点， 时，如图 2，求 的值；第一问学生利用相似三角形
16、的 判定较容易证明，第二问的难度较 大，首先图形本身比较复杂，再加 上它并非象前两道题目那样直接给 出所要求证的等积式或比例式，而 是需要学生通过猜想以后再去证明。首先由第一问的结论可以提示学生从相似的角度去考虑问题， 让学生观察图形并找出图形中相似的基本图形，逐步引导学生去 分析和猜想已知与所求之间可能存在的关系。即将问题转化为证明比例式的问题。通过对图形的分析，从复杂图形中BFOF ABAC分解出双垂直的基本图形，化繁为简，把问题转化为前面的添加 平行线构造相似基本图形的问题。 根据前面学生总结的辅助线添加方法和原则学生有以下解法：2ABAC OEOFFDEOACBGFDEOACBHFEODABCHFEODABCH FEODABCGFDEOACBGFDE
