正弦定理导学案

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1、 河北饶阳中学导学案 高二数学组编制 没有差生 只有差异 山高我为峰第 1 页 共 2 页正弦定理导学案正弦定理导学案学习目标：学习目标： 1、通过对任意三角形通过对任意三角形边长和角边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。自主学

2、习自主学习 1、三角形的内角和、三角形的内角和= 。CBA 2、三角形的三边之间的关系：、三角形的三边之间的关系： 。 3、三角形的边、角之间的关系：、三角形的边、角之间的关系： 。 4、的基本元素：的基本元素： 。ABC 5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角 和、大边对大角）和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？是否可以把边、角关系准确量化？ _6、在在ABCABC 中，若中，若0030, 6,90BaC，则，则bc _（一）课题导入（一）课

3、题导入 如图，固定如图，固定ABCABC 的边的边 CBCB 及及B B，使边，使边 ACAC 绕着顶点绕着顶点 C C 转动转动. . A A 思考：思考：C C 的大小与它的对边的大小与它的对边 ABAB 的长度之间有怎样的数量关系？的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边显然，边 ABAB 的长度随着其对角的长度随着其对角C C 的大小的增大而增大的大小的增大而增大. .能否能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 引出课题引出课题正弦定理正弦定理（二）探索研究：在三角形，如果已知角（二）探索研究：在三角形，如果已知角 A，所对的边，所对的边 BC 长

4、为长为 a，角，角 B 所对的边所对的边 AC 长为长为 b，角，角 C所对的边所对的边 AB 长为长为 c，研究角，研究角 A、B、C 与边与边 a、b、c 之间的关系之间的关系首先我们研究特殊的三角形首先我们研究特殊的三角形直角三角形直角三角形 如图如图 1 11-21-2，在，在 RtRtABCABC 中，设中，设 BC=a,AC=b,AB=c,BC=a,AC=b,AB=c, 要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又，又 si naAcsi nbBc

5、ccc1sin则则 si nsi nsi nabccABC从而在直角三角形从而在直角三角形 ABCABC 中，中， si nsi nsi nabc ABC探究探究 2 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：学生合作探究，讨论：学生合作探究，讨论： 当当ABCABC是锐角三角形时，设边是锐角三角形时，设边ABAB上的高是上的高是CDCD，根据任意角三角函数的定义，根据任意角三角函数的定义，有有CDCD=_=_=_=_，则，则_=_=_， 同理可得同理可得_=_

6、=_， 从而从而 sinsinab ABsinc C类似可推出，当类似可推出，当ABCABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立是钝角三角形时，以上关系式仍然成立 从上面的研探过程，可得以下定理从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nab ABsi nc C精讲点评精讲点评例例 1 1在在ABC 中，已知中，已知 c = 10,A = 45。, C = 30。求。求 b (保留两位有效数字）保留两位有效数字） 。分析：由已知条件，知道两个角的大小，及其中一条边，根据正弦定理

7、可求出另外一条边，另外分析：由已知条件，知道两个角的大小，及其中一条边，根据正弦定理可求出另外一条边，另外在已知两个角的大小，还可求出第三个角，故课求出第三条边在已知两个角的大小，还可求出第三个角，故课求出第三条边变式训练变式训练(1) 在ABC 中，已知 b= ，A= ，B= ，求 a。3045060(2) 在ABC 中，已知 c= ，A= ，B= ，求 b。3075060例例 2、 在三角形 ABC 中，已知 a20，b28， A40，求 B 和 c.在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1） b20，A60，a203 ;BC河北饶阳中学导学案 高二数学组编制 没有差生 只

8、有差异 山高我为峰第 2 页 共 2 页（2） b20，A60，a103 ; （3） b20，A60，a15.小结：看清属于哪一类型，明确已知量、未知量；并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可小结：看清属于哪一类型，明确已知量、未知量；并注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可 能有两解的情形。能有两解的情形。 例例 3 （其它证法：其它证法：）证明一：（等积法）在任意证明一：（等积法）在任意ABC 当中当中 SABC=.111sinsinsin222abCacBbcA两边同除以两边同除以即得：即得： _=_=_1 2abc证明二：（外接圆法）如图所示，证明二：（外接圆法）如图所示，A

9、D，2sinsinaaCDRAD同理同理 =2R，2R. sinb Bsinc C（证法二）：过点（证法二）：过点 A A 作作， C CjACu ruu u r由向量的加法可得由向量的加法可得 ABACC Bu u ru u u ru u r则则 A A B B()jABjACC Bu r uu ru ruu u ruu r jABjACjC Bu r uu ru r uu u ru r uu r ju r00cos 900cos 90 r uuu rr uu u rj ABAj CBC，即，即sinsincA aCsinsinac AC同理，过点同理，过点 C C 作作，可得，可得 ruu

10、u rjBCsinsinbc BC从而从而 当为钝角时，同理可得。当为钝角时，同理可得。si nsi nab ABsi nc C当堂练习当堂练习 1 1、已知、已知ABCABC中，中， A AB BC C114114，则，则a ab bc c等于（等于（ ）. .A A114114 B B112112 C C11113 D D222232 2、在、在ABCABC 中，若中，若，则，则等于（等于（ ）BA2aA A B B C C D D Absin2Abcos2Bbsin2Bbcos23 3、在、在ABCABC 中，若中，若，则，则 。31sin,4, 5ABba4、在ABC 中， （1）已知 c3，A45，B75则 a_.（2）已知 c2，A120，a23 则 B_.3）已知 c2，A45，a ，则 B_.362课堂总结课堂总结：（1）定理的表示形式：；si nsi nab ABsi nc C0si nsi nsi nabck kABC或，si nakAsi nbkBsi nckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 布置作业：布置作业： 课本练习题和限时训练题课本练习题和限时训练题a bcOBCAD