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1、概率论第二章习题1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付 20 万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末自下而上， 则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其它原因 死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分崣上。 解 设赔付金额为 X，则 X 是一个随机变量，取值为 20 万，5 万，0，其相应的概 率为 0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5 万0xp0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有 5 只球，编号为 1,2，3,4，5。在袋中同时取
2、3 只，以 X 表示取 出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律 （2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律。 解 （1）在袋中同时取 3 个球，最大的号码是 3,4，5。每次取 3 个球，其总取法：，若最大号码是 3，则有取法只有取到球的编号为 1,2，3 这一种取法。3 55 4102 1C因而其概率为 2 2 33 5511310CP XCC若最大号码为 4，则号码为有 1,2，4；1，3,4； 2，3，4 共 3 种取法，其概率为2 3 33 5533410CP XCC若最大号码为 5，则 1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5
3、；2,4，5；3,4，5 共 6 种取 法其概率为 2 5 33 5566510CP XCC一般地 ，其中为最大号码是的取法种类数，则随机变量3 52 1)(CCxXpx2 1xCxX 的分布律为X345xp101 1036 10 （2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （6,6） ，共有 36 个基本事件， X 的取值为 1,2，3,4，5,6， 最小点数为 1，的共有 11 种，即（1,1， ） ， （1,2） ， （2,1）， （1,6） ， （6,1） ，；11136P X 最小点数为 2 的共有 9 种，
4、即（2,2） ， （2,3） ， （3,2） ， （3,6） ， （6,3） ，；9236P X 最小点数为 3 的共有 7 种，；7336P X 最小点数为 4 的共有 5 种，；5436P X 最小点数为 5 的共有 3 种，；3536P X 最小点数为 6 的共有 1 种，1636P X 于是其分布律为 X 1 2 3 4 5 6kp 11 369 367 365 363 361 363 设在 15 只同类型的产品中有 2 只次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不 放回抽样，以 X 表示取出的次品的次数， （1）求 X 的分布律； （2）画出分布律的图形。 解 从 15 只产品中
5、取 3 次每次任取 1 只，取到次品的次数为 0，1，2。在不放回的 情形下，从 15 只产品中每次任取一只取 3 次，其总的取法为： ，3 1515 14 13P 其概率为 若取到的次品数为 0，即 3 次取到的都是正品，其取法为 3 1313 12 11P 其概率为 13 12 1122015 14 1335p X 若取到的次品数为 1，即有 1 次取正品，2 次取到次品，其取法为 112 32133 2 13 12C C P 其概率为 3 2 13 1212115 14 1335p X 若取到的次品数为 2， ，其概率为 。2212121011353535p Xp Xp X 于是其分布律
6、为 X012xp22 3512 351 35 （2）分布律图形略。4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为（p1qp ） ，01p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需要的试验次数，求 X 的分布 律。 （此时称 X 服从以为参数的几何分布。 ） 。p （2）将试验进行到出现次成功为止，以 Y 表示所需要的试验次数，求 Y 的分布r 律。 （此时称 Y 服从以，为参数的巴斯卡分布或负二项分布。 ）rp解 （1）X 的取值为，对每次试验而言，其概率或为 1，或为所以1,2, , nLLq其分布律为X1 2 3 4 n kp pqp2q p3q p1nqp(2)Y
7、的取值为，对每次试验而言，其概率或为 1，或为所以其分,1, ,r rn LLq布律为Y r1r 2r rkkp rp1 1r rCqp22 2r rCq pkkr r kCq p5.一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子 飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定 鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。 （2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。 以 Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求 Y 的分布
8、 律。 （3）求试飞次数 X 小于 Y 的概率；求试飞次数 Y 小于 X 的概率。解 （1）X 服从的几何分布，其分布律为31pX 1 2 3 kp 31 31 3231)32(2(2)Y 所有可能的取值为 1,2，3.方法一 311Yp31 21 322Yp31121 323Yp方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即31321YpYpYp即 Y 的分布律为 Y 1 2 3 kp 31 31 31(3) 3, 23, 12, 1YXpYXpYXpYXp31 92 31 31 31 312783, 23, 12, 14iiXpXYpXYpXYpXYp31)32(
9、31)32(31 31)32(31 92 31422ii81386.一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概t 率为 0.1，问在同一时刻 （1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？ （2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？ （3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？ （4）至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ 解 设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为 5 且各次试验相互独立，于是) 1 . 0 , 5( BX（1）恰有 2 个设力被使用，即：2X 0729. 0) 1 . 01 (1 . 02322 5CXp（2）至少有 3 个设备被使用，即：
10、3X 5433XpXpXpXp55 544 5233 51 . 09 . 01 . 09 . 01 . 0CCC00856. 0（3）至多有 3 个设备被使用，即：3X 5413XpXpXp55 544 51 . 0) 1 . 01 (1 . 01CC99954. 0（4）至少有一个设备被使用，即1X 110p Xp X 500 5) 1 . 01 (1 . 01C40951. 07 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.3，A 发生不少于 3 次时指示灯发出信号，（1）进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解 设 A
11、发生的次数为 X，则，设 B“指示灯发出信号”( ,0.3)XB n:5,7n （1） 5 5 5 3( )3(0.3) (0.7)kkkkP BP XC33244550 555(0.3) (0.7)(0.3) (0.7)(0.3) (0.7)CCC10 0.27 0495 0.0081 0.70.00243016308 或 2 514223 22 0( )11 (0.7)0.3 (0.7)(0.3) (0.7)0.163kP BP XkCC 同理可得 （2）7 7 5 3( )3(0.3) (0.7)0353kkkkP BP XC或 2 716225 77 0( )11 (0.7)(0.3)
12、(0.7)(0.3) (0.7)0.353kP BP XkCC 8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，今各投 3 次，求（1）两人投中 的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。解 记甲投中的次数为 X，乙投中的次数为 Y，则，)6 . 0 , 3( BX)7 . 0 , 3( BY0033 30(0.6) (0.4)(0.4)0.064p XC288. 0)4 . 0)(6 . 0(121 3CXp432. 0)4 . 0()6 . 0(222 3CXp3303 33(0.6) (0.4)(0.6)0.216p XC同理，027. 0)3 . 0(03Yp189. 0)
13、3 . 0)(7 . 0(121 3CYp441. 0)3 . 0()7 . 0(222 3CYp343. 0)7 . 0(33Yp若记 A 为事件“两人投中次数相等” ，B 为事件“甲比乙投中的次数多” ，则,)(3030iYpiXpiYiXpApii 32076. 00.064 0.0270.288 0.1890.432 0.441 0.216 0.3430.0017280.0544320.1905120.07408832076. 0又 1,01 00.288 0.0270.007776P XYP XP Y2,02 00.432 0.0270.011664P XYP XP Y3,03 00
14、.216 0.0270.005832P XYP XP Y2,12 10.432 0.1890.081648P XYP XP Y3,13 10.216 0.1890.040824P XYP XP Y3,23 20.216 0.4410.095256P XYP XP Y所以 )(YXpBp0, 30, 20, 1YXpYXpYXp2,13,1p XYp XY3,2p XY0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.0952560.243 9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取 10 件，经检验无次 品，接受这批产品，次品大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5 件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为 10%，求 （1）这批产品经第一次检验就能接受的
