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1、.有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证下面介绍一些运算技巧 归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等例 1 计算：(0.5)(3) + 2.75(7)41 21解法一：(0.5)(3) + 2.75(7) = (0.5 + 2.75) + (37) = 2.254=2 41 21 41 21 41解法二：(0.5)(3) + 2.75(7) =0.5 + 3+ 2.757= (3 + 27 ) +
2、(0.5 + 41 21 41 21+ 0.75 =241 21评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法 凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率例 2 计算：19299399949999解：19299399949999=201300140001500001= (20300400050000)4= 543204= 54316在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案
3、 变换顺序.在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算例 3 计算：4()()6125 71 72 127解：4()()6 125 71 72 127= 4()()6125 71 72 127= 46()()125 127 72 71= 11()73= 1074评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的 逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快例 4
4、 计算：17.4837174.81.98.7488解：17.4837174.81.98.7488 =17.4837(17.4810)1.917.4844=17.483717.481917.4844= 17.48(371944)= 1748评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率 巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷例 5 计算 2005100120042003 10021001解：200520042003 100210011001.= (20041)(10021)20042003 10021001= (20031001)()20042003
5、10021001=100320042001评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决 变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用例 6 计算(0.125)512769)323417(125. 0323417323417512769解：设 a =，b = 0.125，c =，则323417512769(0.125)512769)323417(125. 0323417323417512769= (b)caba ac=caba acab
6、= 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，因此，采用变量替换就大大减少了计算量323417512769 分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算例 7 计算：2345678966676869.解：2345678966676869= (2345)(6789)(66676869)= 0000= 0评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题 倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例 8 计算()()()21 31 32 41 42 43 51 52 53 54()60
7、1 602 6058 6059解：把式括号内倒序后，得：()()()()， 21 32 31 43 42 41 54 53 52 51 6059 6058 602 601得：12345859 = 1770，()()()() 21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 601 602 6058 6059=(1770) = 88521评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度 添数配对例 9 计算111921993199941999951999996199999971999999981999999999解：添上 987654321，依次与各数配对相加
8、，得：111921993199941999951999996199999971999999981999999999= 20200210 210 210 (987654321)349= 222222222045= 2222222175评析：添数配对实质上也是一种凑整运算. 整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果例 10 计算 121 41 81 161 321 641 1281 2561解；设 1= x，21 41 81 161 321 641 1281 2561则()，得=x， 21 21 41 81 161 321
9、 641 1281 2561 5121 21 ，得 1=x，解得 x =，故5121 23 2561711=21 41 81 161 321 641 1281 2561 256171评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法有理数运算技巧十五招有理数运算技巧十五招一、归类一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例 1 计算：。 23 1324 解：原式 3 12234 69 。3 二、凑整二、凑整将和为整数的数结合计算。例 2 计算：。36.54228263.46解：原式36.5463.462282100228212282。40三、对消三、对消将相加
10、得零的数结合计算。例 3 计算：。 5464332 .原式 4453263 009。9四、组合四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例 4 计算：。解：原式55511125210624918 5171386。13524 五、分解五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例 5 计算：。111125434236原式111125434236 3642212121212 11221212六、转化六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例 6：计算：例 8 计算： 412.5310.15 解：原式412.50.1315 。1 3131 11221212七、变序七、变序
11、运用运算律改变运算顺序。例 8 计算： 412.5310.15 解：原式412.50.1315 。1 3131 八、约简八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。解：原式88815 59158 .815815815 5898158 5313 。1 3 九、逆用九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序。例 11 计算： 。2283210.2555214 解：原式25871 5122144 21811 34344 1281433 。1 4.十、观察十、观察根据 0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为 0、1 或的部分优先计算。11例 12 计算：。 200913120093.753164
12、 解：，。33.75304Q 200911 原式。 011 十一、变量替换十一、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用例 6 计算(0.125)512769)323417(125. 0323417323417512769解：设 a =，b = 0.125，c =，则323417512769(0.125)512769)323417(125. 0323417323417512769= (b)caba ac=caba acab = 1评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：，0.125，
13、因此，采用变量替换就大大减少了计算量323417512769十二、倒序相加十二、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化例 8 计算()()()(21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 601 602)6058 6059解：把式括号内倒序后，得：.()()()()， 21 32 31 43 42 41 54 53 52 51 6059 6058 602 601得：12345859 = 1770，()()()() 21 31 32 41 42 43 51 52 53 54 601 602 6058 6059=(1770) = 88521评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度 十三、添数配对十三、添数配对例 9 计算111921993199941999951999996199999971999999981999999999解：添上 987654321，依次与各数配对相加，得：111
