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1、【技巧】巧添辅助线：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助 线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目 前为止，添加辅助线有以下几类：（供参考） 1） “连接法”看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 2）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” ，依据是全等变换中的“对折” 3）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个 “惊 喜”Rt和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定
2、理或逆定理 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适 合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段 连 接起来，利用三角形面积的知识解答 【导学 P40 延伸训 练】 1）连接法看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一 村 【例 1】如图，已知A=C=Rt，且 AB=CD，试证明 AD=BC.【练习】已知，如图 AB=AC，且ABD=ACD.试证明 BD=CD.2）等腰三角形中，可作底边上的高. 【例 2】如图，
3、已知 D、E 两点在线段 BC 上，ABAC，ADAE，试说明 BD=CE 的理由.3）倍长中线 【例 3】已知ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_. 【练习】如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.4）角平分线上的点向角两边引垂线段ABCDOABCDABCEDEDCBADCBA【例 4】如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，求证：BAD+C=180【练习】如图 4，在ABC 中，BD=CD，ABD=ACD,求证 AD 平分BAC.5）截长补短【例 5】如图，中，AB=2AC，AD 平分，且 AD=BD，ABCBAC
4、 求证：CDAC【练习】如图，已知ABC 为等边三角形，其边长为 k，DBC 为等腰三角形，BD=CD 且BDC=120过点 D 作PDQ=60，DP、DQ 分别交 AB、AC 于点 M、N，记为，为.AMNCVxABCCVy（1）如图 1，特别地，当 BM=CN 时，易证 BM+CN=MN.此时：()()()2AMNxCAMANMNAMANBMBNAMBMANCNABACkV,于是.3ABCyCABACBCkV22 33xk yk（2）如图 2，当PDQ 绕点 D 旋转，使得 DP、DQ 交线段 AB、AC 于点 M、N 时， （1）中的结论还成立吗？请说明. 【分析】当PDQ 从（1）中的
5、特殊位置旋转至一般的情况时，通 过“截长补短”我们可在图形左边补出一个与NCD 全等的三角 形. 【解答】如图，延长 AB 至 E 使得 BE=CN，连接 DE.因为ABC 为等边三角形，所以ABC=ACB=60; 又 BD=CD 且BDC=120，从而DBC=DCB=30, 于是ABD=ACD=Rt，所以DBE=DCN=Rt;CDBAABCDABCDP QMN图 1ABCDMNPQE图 212在DBE 和DCN 中，,于是DBEDCN，BDCN DBEDCNBECN 所以1=2，DE=CN;又BDC=120, 所以EDN=1+BDN=2+BDN=BDC=120, 又PDQ=60,所以EDM=
6、NDM=60;在EDM 和NDM 中，,所以EDMNDM，所以 MN=ME;而 ME=BM+BEEDMNDMEDNDDMDM 且 CN=BE,所以 ME=BM+CN,即 MN=BM+CN;所以()()()2AMNxCAMANMNAMANBMBNAMBMANCNABACkV,于是.故（1）中的结论仍然成立.3ABCyCABACBCkV22 33xk yk（3）如图 3，当PDQ 绕点 D 旋转，使得 DP、DQ 交 BA、AC 的延长线于点 M、N 时， （1）中 的结论还成立吗？请说明.旋转 【例 6】已知：ABC 中，BC=AC，且C=90.点 D 为 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分
7、别交 BC,CA 于点 E,F，当MDN 绕点 D 转动时.（1）写出点 D 到 ABC 三个顶点的距离之间的数量关系;（2）试判断DEF 的形状.ABCDQ NPM图 3ABCDMNEF【作业】 1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画 一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这 个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。2、已知四边形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC o，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于60MBN oMBNBADDC，EF，当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？MBNBAECF 若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的AECF，EF 猜想，不需证明OPAMNEBCDFACE FBD图图图（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN
