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1、Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 难点 13 数列的通项与求和 数列是函数概念的继续和延伸， 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的 研究， 而数列的前 n 项和 Sn可视为数列Sn的通项。 通项及求和是数列中最基本也是最重要 的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点， 本点的
2、动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法. 难点磁场 ()设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n， an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比中项. (1)写出数列an的前 3 项. (2)求数列an的通项公式(写出推证过程) (3)令 bn=)(2111+nnnn aa aa(nN*)，求lim n(b1+b2+b3+bnn). 案例探究 例 1已知数列an是公差为 d 的等差数列，数列bn是公比为 q 的(qR 且 q1) 的等比数列，若函数 f(x)=(x1)2，且 a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，
3、 (1)求数列an和bn的通项公式； (2)设数列cn的前 n 项和为 Sn，对一切 nN*，都有nn cc bc bc+?2111=an+1成立，求lim nnn SS212 +. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、数列的极限，以 及运算能力和综合分析问题的能力.属级题目. 知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式 的左边可视为某数列前 n 项和，实质上是该数列前 n 项和与数列an的关系，借助通项与前 n 项和的关系求解 cn是该条件转化的突破口. 错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量 a1、b1
4、、d、q，计算 不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键. 技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生 蛋”构造新数列dn，运用和与通项的关系求出 dn，丝丝入扣. 解：(1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2， a3a1=d2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又 b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2， 2213)2( qq bb=q2，由 qR，且 q1，得 q=2， bn=bqn1=4(2)n1 Generated by Unregistered Batch DOC TO
5、PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 (2)令nn bc=dn，则 d1+d2+dn=an+1,(nN*), dn=an+1an=2, nn bc=2,即 cn=2bn=8(2)n1；S n=381(2)n. 2lim, 1)21(2)21()2(1)2(121222212212= + =+ +nnnnnnnnn SS SS例 2设 An为数列an的前 n 项和，An=23(an1)，数列bn的通项公式为 bn=4n+3; (1)求数列an的通项公式； (2)把数列an与bn的公共项按从小到大
6、的顺序排成一个新的数列，证明：数列dn的 通项公式为 dn=32n+1; (3)设数列dn的第 n 项是数列bn中的第 r 项，Br为数列bn的前 r 项的和；Dn为数列dn的前 n 项和，Tn=BrDn，求lim n4)(nn aT. 命题意图：本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念， 数列极限，以及逻辑推理能力. 知识依托：利用项与和的关系求 an是本题的先决；(2)问中探寻an与bn的相通之处， 须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点. 错解分析：待证通项 dn=32n+1与 an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到 r与 n 的
7、关 系，使 Tn中既含有 n，又含有 r，会使所求的极限模糊不清. 技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把 3 拆解为 41，再利用二项 式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出 n 与 r 的关系，正确表 示 Br，问题便可迎刃而解. 解：(1)由 An=23(an1)，可知 An+1=23(an+11)， an+1an=23(an+1an)，即nn aa1+=3，而 a1=A1=23(a11)，得 a1=3，所以数列是以 3为首项，公比为 3 的等比数列，数列an的通项公式 an=3n. (2)32n+1=332n=3(41)2n=3 42n+C1
8、2n42n1(1)+C12 2n n4(1)+(1)2n=4n+3， 32n+1bn.而数 32n=(41)2n=42n+C12n 42n1 (1)+C12 2n n 4 (1)+(1)2n=(4k+1)， 32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1. (3)由 32n+1=4r+3，可知 r=43312+n ， Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 Br=) 19(827)91 (9127,273
9、433)52(2)347(1212 =+=+=+ nn nnn Drrrr， 89 )(lim,3)( ,433811389) 19(827 821349444241212=+=+=+nnnn nnnnnnnrnaTaDBT锦囊妙计 1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同. 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性. 2.数列an前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：an= =2,1,11 nSSnSnn3.求通项常用方法 作新数列法.作等差数列与等比数列. 累差叠加法.最基本形式是：an=(anan1+(an1+an2)+
10、(a2a1)+a1. 归纳、猜想法. 4.数列前 n 项和常用求法 重要公式 1+2+n=21n(n+1) 12+22+n2=61n(n+1)(2n+1) 13+23+n3=(1+2+n)2=41n2(n+1)2 等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn. 裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵 消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项： 等)!1(1 !1 )!1(1,CCC,ctg2ctg2sin1, !)!1(!,111 ) 1(111 +=+=+=+=+ nnnaannnnnnnnr n
11、r nn n错项相消法 并项求和法 数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. 歼灭难点训练 一、填空题 1.()设 zn=(21i)n，(nN*)，记 Sn=z2z1+z3z2+zn+1zn，则lim nSn=_. Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 2.()作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在 新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为
12、_. 二、解答题 3.()数列an满足 a1=2，对于任意的 nN*都有 an0,且(n+1)an2+anan+1 nan+12=0，又知数列bn的通项为 bn=2n1+1. (1)求数列an的通项 an及它的前 n 项和 Sn； (2)求数列bn的前 n 项和 Tn； (3)猜想 Sn与 Tn的大小关系，并说明理由. 4.()数列an中，a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1an,(nN*). (1)求数列an的通项公式； (2)设 Sn=a1+a2+an,求 Sn; (3)设 bn=)12(1nan(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数 m，使得对任意
13、nN*均有 Tn32m成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 5.()设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=(m+1)man.对任意正整数 n 都成立， 其中 m 为常数，且 m1. (1)求证：an是等比数列； (2)设数列an的公比 q=f(m)，数列bn满足：b1=31a1,bn=f(bn1)(n2,nN*).试问当 m为何值时，)( 3lim)lg(lim13221nnnnnnbbbbbbab+=?成立？ 6.()已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145. (1)求数列bn的通项 bn； (2)设数列an的通项 an=loga(1+nb1)(其中
14、a0 且 a1),记 Sn是数列an的前 n 项和，试比较 Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论. 7.()设数列an的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t 0,n=2,3,4). (1)求证：数列an是等比数列； (2)设数列an的公比为 f(t)，作数列bn，使 b1=1,bn=f(11nb)(n=2,3,4)，求数列bn的通项 bn； (3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1. 参考答案 难点磁场 解析：(1)由题意，当 n=1 时，有11222Sa=+，S1=a1， Generated by Unr
15、egistered Batch DOC TO PDF Converter 2012.4.319.1599, please register! 百度搜索 李萧萧文档 百度搜索 李萧萧文档 11222aa=+，解得 a1=2.当 n=2 时，有22222Sa=+，S2=a1+a2，将 a1=2 代入，整理得(a22)2=16， 由 a20， 解得 a2=6.当 n=3 时， 有33222Sa=+， S3=a1+a2+a3， 将 a1=2，a2=6 代入，整理得(a32)2=64，由 a30，解得 a3=10.故该数列的前 3 项为 2，6，10. (2）解法一：由(1）猜想数列an.有通项公式 an=4n2.下面用数学归纳法证明an的通
