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1、平面向量第 1 页2018-3-9高考中高考中平面向量平面向量易错题易错题055350 河北隆尧第一中学 焦景会平面向量知识要点平面向量知识要点1两个向量的数量积与向量同实数积（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个a baba b向量的数量的积，书写时要严格区分，符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 “”代替；（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若0，且=0，不能推出=aa bb。因为其中 cos有可能为 0；0（4）已知实数 a、b、c(b
2、0)，则 ab=bc a=c。但是= ；a bbcca 2平面向量数量积的运算律（1）结合律不成立：，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与共线 ab ca bcrrrrrra的向量，而一般与 c 不共线，在实数中，有() = ，但是() ()。aabc()ab ca bcabc（2），但，222()2abaa bbrrrrrr22()()abab abrrrrrr3322()()abab aa bbrrrrrrrrm。33223()33abaaba bbrrrrrrrr3向量知识在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身 份”能融数形于一体，能与中
3、学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引 起足够的重视。 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直。 4注重数学思想方法 数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数 形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点， 增强应用意识。 化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；22aavv一些实际问题也可以运用向量知识去解
4、决。 分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随avbv平面向量第 2 页2018-3-9分点 P 的位置不同，可以大于零，也可以小于零。下面就高考中平面向量易错、易混点举例分析如下。一、概念定义理解不透彻致错一、概念定义理解不透彻致错例 1、 （陕西卷理 8 文 8）在中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足学,则科ABC2APPMuuu ruuu u r网等于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ （ ） ()PAP
5、BPCuu u ruu u ruuu r（A） （B） （C） (D) （ 4 94 34 34 9【错解错解】 不能正确处理向量的方向致错选为 D 由2APPMuuu ruuu u r 知, p为ABC的重心,根据向量的加法, 2PBPCPMuu u ruuu ruuu u r ，则()APPBPCuuu ruu u ruuu r =2 142=2cos0213 39AP PMAP PM uuu r uuuu ruuu r uuuu r。【正解正解】 ()APPBPCuuu ruu u ruuu r =2 142=2cos0213 39AP PMAP PM uuu r uuuu ruuu r
6、 uuuu r，()APPBPCuuu ruu u ruuu r ，正确答案：A 。()PAPBPC uu u ruu u ruuu r4 9 二、混淆平面向量运算公式及运算律致错二、混淆平面向量运算公式及运算律致错例 2、 （浙江卷文 5）已知向量，若向量满足，则 (1,2)a(2, 3)bc()/ /cab()cabc（ ）A B C D 7 7( , )9 377(,)397 7( , )3 977(,)93【错解错解】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现 了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用由于混淆向量平行与垂直的条件，即非 0 向量
7、，而不能求得答案。1221/0abx yx yrr12120abx xy yrr【正解正解】不妨设，则，对于，则有( , )Cm nu r1,2,(3, 1)acmnabrrrr/cabrrr；又，则有，则有，答案：D 。3(1)2(2)mncabrrr30mn77,93mn 例 3、 （2009 宁夏海南卷文）已知3,2 ,1,0ab ，向量ab与2ab垂直，则实数的值为（A）1 7 （B）1 7（C）1 6 （D）1 6 【正解正解】向量ab（31，2） ，2ab（1,2） ，因为两个向量垂直，故有（31，2）（1,2）0，即 3140，解得：1 7，选.A。三、不能正确应用向量加法与减法
8、几何意义致错三、不能正确应用向量加法与减法几何意义致错例 4、（2009 安徽卷文）在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【错解错解】错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质即平面向量基本定理。平面向量第 3 页2018-3-9【正解正解】设BCbuuu rr 、BAauu u rr 则1 2AFbauuu rrr,1 2AEbauuu rrr,ACbauuu rrr ，代入条件得24 33uu 。例 5、 （天津卷理 15）在四边形 ABCD 中，=（1，1） ，则四边形ABuuu rD
9、Cuuu r3BABCBDBABCBDuu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu rABCD 的面积是 【错解错解】不清楚与ABC 的角平分线有关。BABCBABCuu u ruuu ruu u ruuu r【正解正解】由题知四边形 ABCD 是菱形，其边长为，且对角线 BD 等于边长的倍，所以23，故，。21222622cos ABD23sin ABD23( 2)32ABCDS四、不能将向量与函数进行联系四、不能将向量与函数进行联系例 6、 （四川卷文 16）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象VM:,f VV aVa为。若映射满足：对所有及任意实数都有( )f
10、a:f VVabV、, ，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：()( )( )fabf af bfM设是平面上的线性变换，则 fMabV、()( )( )f abf af b若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； eM,( )aVf aae设fM对，则是平面上的线性变换； ,( )aVf aa 设fM设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。fMaVk()( )f kakf a其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【错解错解】忽略函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，对立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力的试题不够适应。【正解正解】：令，则故是真命题1)()()(bfafbaf同
11、理，：令，则故是真命题0,k)()(akfkaf：，则有，aaf)(bbf)(是线性变换，故是真命题)()()()()()(bfafbababaf平面向量第 4 页2018-3-9：由，则有，eaaf)(ebbf)(ebfafeebeaebabaf)()()()()()(是单位向量，0，故是假命题， 【答案】。ee 五、不能将向量与平面几何进行联系五、不能将向量与平面几何进行联系例 7、 （天津卷文 15）若等边的边长为，平面内一点 M 满足,则ABC32 CACBCM32 61_. MBMA【错解错解】不能将向量与三角形中的几何性质结合运用，或对基本知识的综合运用能力不够强。【正解正解】合理
12、建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3 , 3(),0 , 32(),0 , 0(BAC这样利用向量关系式，求得 M，然后求得，运用数量积)21,233()25,23(),21,23( MBMA公式解得为-2。例 8、 （浙江卷理 7）设向量，满足：，以，的模为边长构成ab| 3a| 4b0a babab三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1A B C D3456【错解错解】不能将向量与圆、三角形等知识相结合。 【正解正解】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变
13、化，能实现 4 个交点的情况，但 5 个以上的交点不能实现答案：C 六、不能将向量与三角函数进行联系六、不能将向量与三角函数进行联系例 9、 （2009 安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量OAuu u r 和OBuuu r ，它们的夹角为120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧ABuuu v 上变动.若,OCxOAyOBuuu ruu u ruuu r 其中, x yR,则xy的最大值是_. 【错解错解】不能正确应用三角函数性质求解。【正解正解】设AOC ，,OC OAxOA OAyOB OAOC OBxOA OByOB OBuuu ruu u ruu u ruuu ruu u
14、 ruu u vuuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu v，即01cos2 1cos(120)2xyxy ，02coscos(120)cos3sin2sin()26xy 。 总上可见，不断积累练习过程中易错的问题，有针对性地进行易错题训练，可少走弯路，避免大量 练习，收到事半功倍的效果。链接练习 1、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足平面向量第 5 页2018-3-9, 则 P 的轨迹一定通过ABC 的 ( ) ), 0), |( ACACABABOAOP(A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心2、将函数 y=2x 的图象按向量 平移后得到 y=2x+6 的图象，给出以下四个命题： 的坐标可以是 a a（-3，0） 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） 的坐标可以是（0，6） 的坐标可以有无 a a a数种情况，其中真命题的个数
