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1、第 1 页 共 14 页2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学数学试题试题参考公式：参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高.1 3VSh锥体Sh一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合，则实数的值为_. 1,1,3A 4, 22aaB3 BAa1.【答案答案】1. 【命题意图命题意图】本题考查交集的定义，对求得的集合中的元素要进行检验.【解析解析】由题意得.又由不符合题意.经检验得.1
2、, 32aa342a1a2.设复数满足（i 为虚数单位） ，则的模为_.z(23 )64ziiz2.【答案答案】2. 【命题意图命题意图】本题考查复数有关运算及复数模的计算.【解析解析】由得即.iiz46)32(,2)32)(32()32)(46( 3246iiiii iiz2,2ziz3.盒子里共有大小相同的 3 只白球，1 只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ _.3.【答案答案】.21【命题意图命题意图】本题考查古典概型知识.【解析解析】31.62p 4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标).所得
3、数据均在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中，有_ _ 根棉花纤维的长度小于 20mm.4.【答案答案】30. 【命题意图命题意图】本题考查概率统计中频率分布直方图的有关运用,注意纵坐标是频率/组距.【解析解析】由频率分布直方图得棉花纤维长度小于的根数为(0.01+0.01+0.04).mm203010055.设函数(xR)是偶函数，则实数 a 的值为_.( )()xxf xx eae5.【答案答案】.1 【命题意图命题意图】本题考查函数的奇偶性.【解析解析】设,由题意分析应为奇函数(奇函数奇函数=偶函数),Rxaeexgxx,)()(xg又，则所以.RxQ0)0
4、(g, 01 a1a6.在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点的横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右xOy22 1412xyM焦点的距离为_.6.【答案答案】4.第 2 页 共 14 页【命题意图命题意图】本题考查求曲线上点的坐标、双曲线的焦点坐标、两点间距离公式的运用.【解析解析】由题意得点),双曲线的右焦点的坐标为(4,0)，=4.15, 3( M2MF22)015()43(或用第二定义：，.2MFed2d 4MF 7.右图是一个算法流程图，则输出的的值是_.S7.【答案答案】63. 【命题意图命题意图】本题考查算法流程图,由流程图得出 S 的关系式,比较得出 S 的值.【解析解析】由流程
5、图得=1+2+48+16+32=63,即12345122222S 33.63S8.函数的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中N*.若，2(0)yxx2(,)kkaax1kak116a 则的值是_.123aaa8.【答案答案】21. 【命题意图命题意图】考查函数的切线方程、数列的通项.【解析解析】在点处的切线方程为当时，解得，所以2(,)kkaa22(),kkkyaaxa0y 2kax .1135,164 1212k kaaaaa 9.在平面直角坐标系中，已知圆上有且只有四个点到直线的距离为xOy224xy1250xyc1，则实数的取值范围是_.c9.【答案答案】.( 13,13)【命题意
6、图命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析解析】如图,圆的半径为 2,圆上有且仅有四个点422 yx到直线的距离为 1,问题转化为原点(0,0)到直线的距离小于 1,即0512cyx.1313,13, 1 51222 ccc10.设定义在区间上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足(0,)2为 P1，直线 PP1与函数 y=sinx 的图像交于点 P2，则线段 P1P2的长为_.10.【答案答案】.32【命题意图命题意图】本题考查三角函数问题,由图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出结合图象,数,32sinx形结合分析 P
7、1P2的值.xyO0512cyx1 11第 3 页 共 14 页【解析解析】由题意得，即，xxtan5cos6xxxxxsin5cos6 ,cossin5cos62得结合图象分析得.226(1sin)5sin , 6sin5sin60xxxx,32sinx32sin21PPx11.已知函数则满足不等式的的取值范围是_.21,0,( )1,0,xxf xx2(1)(2 )fxfxx11.【答案答案】).12, 1(【命题意图命题意图】本题考查分段函数的单调性.【解析解析】解得，所以的取值范围是2212 ,10,xxx 121x x).12, 1(12.设 x,y 为实数，满足 38，49，则的最
8、大值是_.2xy2x y34x y12.【答案答案】27.【命题意图命题意图】考查不等式的基本性质，等价转化思想.【解析解析】，的最大值是 27.2 2()16,81x y211 1 , 8 3xy32 2 421()2,27xx yyxy43yx13.在锐角ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若,则的值是 .6cosbaCabtantan tantanCC AB【答案答案】4.【解析解析】考查三角函数知识，三角形中的正、余弦定理的应用，等价转化思想.（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边和边 a、b 具有轮换性具有轮换性.
9、当当 A=B 或或 a=b 时满足题意，此时有时满足题意，此时有，.1cos3C 21 cos1tan21 cos2CC C2tan22C等腰三角形中，=4.1tantan2 tan2ABCtantan tantanCC AB（方法二）（方法二），.226cos6cosbaCabCabab2222 222236,22abccabab abab,2tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABC ABCABCABCAB由正弦定理，得上式.2222221411 3cos()662ccc cC
10、 abab 14.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记第 4 页 共 14 页,则 s 的最小值是_.2(s 梯形的周长） 梯形的面积【答案答案】.32 3 3【解析解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想.设剪成的小正三角形的边长为，则.x222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxsxxxx（方法一）利用导数求函数最小值（方法一）利用导数求函数最小值.，224(3)( )13xS xx22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxS xx 2242(31)(3) (1)3xx x.1( )0,01,3S xxx当时
11、，递减；当时，递增.1(0, 3x( )0,S x1 ,1)3x( )0,S x故当时，S 取最小值.1 3x 32 3 3（方法二）利用函数的方法求最小值（方法二）利用函数的方法求最小值.令令，则.11 13,(2,3),( , )3 2xt tt222441 8668331tStt tt故当时，S 取最小值.131,83xt32 3 3二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分）在平面直角
12、坐标系中，已知点，xOy( 1, 2)A (2,3)B( 2, 1).C (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足()=0，求 的值.OCtABOCt【解析解析】本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分 14 分.解：（1）由题设知，则(3,5)AB uuu r( 1,1)AC uuu r，(2,6)ABACuuu ruuu r(4,4).ABACuuu ruuu r所以，|2 10ABACuuu ruuu r|4 2.ABACuuu ruuu r故所求的两条对角线长分别为，.4 22 10（2）由题设知，( 2,
13、 1)OC uuu r (32 ,5).ABtOCttuuu ruuu r第 5 页 共 14 页由，得，()0ABtOC OCuuu ruuu ruuu rg(32 ,5) ( 2, 1)0ttg从而，所以511t 11. 5t 16.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1)求证：PCBC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离. 【解析解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、 推理论证能力和运算能力.满分 14 分. 解：（1）因为 PD
14、平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PDBC.由BCD=900，得 BCDC.又，平面 PCD，平面 PCD，PDDCDPD DC 所以 BC平面 PCD.因为平面 PCD，所以 PCBC.PC （2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF.则易证 DECB，DE平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等.由（1）知 BC平面 PCD，所以平面 PBC平面 PCD.因为 PD=DC，PF=FC，所以 DFPC，所以 DF平面 PBC 于 F.易知 DF=.又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离2 2的 2 倍，故点 A 到平面
15、PBC 的距离等于.2（方法二）连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离 h.因为 ABDC，BCD=900，所以ABC=900.从而由 AB=2，BC=1，得的面积.ABC1ABCS由 PD平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥的体积PABC11.33ABCVSPDg因为 PD平面 ABCD，DC平面 ABCD，所以 PDDC.又 PD=DC=1，所以222.PCPDDC由 PCBC，BC=1，得的面积PBC2.2PBCS由，得.1121 3323PBCVShhgg2h 因此，点 A 到平面 PBC 的距离为.217.（本小题满分 14 分）某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m).如示
