《连续统假设的否定三》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续统假设的否定三（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、连续统假设的否定（三）一、 摘要：本文用否定连续统假设某一个推论的方法来否定连续统假设二、 关键词：（一）连续统假设 （二）可测集 （三）可测函数 （四）零测集 （五）收敛 （六）一致收敛三、 连续统假设的推论（4） （一）存在一个实变函数的无穷序列fn(x)（n 为任意自然数），它在每一个不可数集上收敛，但不一致收敛。下面我们证明推论（4）不成立。引理一、可测集 E 的任一子集都可测。证：设集合 E1为可测集 E 的任一子集，则集合 E1及E-E1都是可测集，否则若其中之一，如 E1不可测，则E=E1+(E- E1)也不可测，和 E 为可测集的假设矛盾，故 E1及 E-E1皆为可测集。引理二
2、、设函数列fn(x)(n 为任意自然数)定义在可测集 E 上，则fn(x)皆为 E 上的可测函数。证：根据假设fn(x)(n 为任意自然数)定义在可测集 E上，则fn(x)在 E 的子集 E（fn(x)t）(n 为任意自然数，t为任意实数)上也有定义，根据引理一，E 的子集 E（fn(x)t）也为可测集，根据可测函数的定义，所有的fn(x)皆为E 上的可测函数。引理三、若函数 f(x)为可测集 E 上的可测函数，则 f(x)在 E 上几乎处处有限。证：若 f (x)为可测集 E 上的可测函数，则 f(x)在 E 上勒贝格可积二，于是 f(x)在 E 上几乎处处有限三。定理一、设 E 为任意一个
3、不可数集，fn(x)（n 为任意自然数）为定义在集合 E 上任意一个处处收敛的实函数列，其极限函数为 f(x)，则至少存在 E 的一个有界不可数于E1，使f(x)在 E1上一致收敛于 f(x)。证：根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理一，E 中存在凝聚点 X，且 XE，设 E 中所有凝聚点的集合为 E1，根据该文的引理二，E1为不可数集，且为闭集，故 E1为可测集二，下面分两种情况讨论：（一） 当 E1无界时，取其有界的一段 E1。（二） 当 E1有界时，改 E1为 E1。由于 E1为 E1的子集，根据引理一，E1可测，由于 E1是有界集合，故 m E1+，又根据假设，fn(x)为
4、定义在E 上处处收敛的实函数列，其极限函数为 f(x)，故fn(x)在E 的子集 E1上也有定义，且在 E1上也处处收敛于 f(x)，fn(x)既定义在 E1上，根据引理二，fn(x)皆为 E1上的可测函数，且其极限函数 f(x)在 E1上也可测三，又根据引理三，fn(x)及 f(x)在 E1几乎处处有限，因此可得集 E1及函数列fn(x)在 E1上满足叶古洛夫定理的条件，根据叶古洛夫定理，存在的 E1的可测子集 E1,使fn(x)在 E1上一致收敛于极限函数 f(x)，其中 E1- E1为零测集。最后还要证明 E1为不可数集，由于 E1=E1+( E1- E1)，前面已证出 E1为不可数集，
5、根据笔者所写的连续统假设的否定（一）一文中的引理三，E1的有界子集 E1也为不可数集(可以证明 E1全由凝聚点组成)，如果 E1不为不可数集，则 E1为至多可数集（一） ，于是 E1也为至多可数集，这就和前面所证出的结果矛盾，故 E1为不可数集。这样，对于任意不可数集 E 中任一个收敛的实函数列fn(x)，都至少存在 E 的一个有界不可数子集 E1（因E1E1 E） ，使fn(x)在 E1上一致收敛于极限函数 f(x),其中 E1- E1为零测集。于是连续统假设的推论（4）一被推翻。四、 连续统假设的否定推论（4）是在连续统假设成立的假设下推岛出来的，现在证出推论（4）不成立，说明连续统假设也
6、不成立（因原命题和逆否命题等价） ，通常所说的连续统假设指的是狭义连续统假设，它是广义连续统假设的特殊情况，狭义连续统不成立，广义连续统假设就更不能成立。到现在为止，连续统假设这个命题已得到彻底解决。注解（一）：现在假设 a（可数集的势）和（不可数集的势）之间没有中间势，即假设连续统假设成立，推论（4）势在连续统假设成立的假设下推到来的，现在根据同样的假设，又证出推论（4）不成立，这就出现矛盾，此矛盾说明连续统假设不成立。参考文献（一）：连续统假设 （张锦文 王雪生）合著出版地点：沈阳辽宁教育出版社出版时间：1989 年 4 月参考文献（二）：实变函数及泛函分析基础 程其襄等著出版地点：北京高等教育出版社出版时间：1983 年 12 月参考文献（三）：实变函数论 徐森林著出版地点：合肥中国科学技术大学出版社出版时间：2002 年 2 月作者：陈守仁 河北大学数学系本科六 O 界毕业生退休前担任天津市家电五厂职工夜校数学教师
