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1、课题课题 2 2 反正弦函数反正弦函数 y=arcsinxy=arcsinx机型:TI-83plus教学内容:一、 复习反函数的有关概念结合已知学过的互为反函数:y=2x与 y=log2x 的图象来复习1、 用 TI-83 画出这两个函数的图象。步骤:(1) 、按 (设置观察窗口的变量值) 。 (见图一)(2) 、按 (显示 Y=编辑器,用于定义运算表和绘图的函数) ,按按(3) 、按 (4) 、按 (见图二)2、 从图形中观察互为反函数的图象具有关于直线 y=x 对称。3、 互为反函数的定义域与值域之间的关系。二、 讨论正弦函数中的 X 与 Y 的对应关系。1、用 TI-83 画出正弦函数的
2、图象,说明正弦函数的定义域 D 中的 X 与 Y 的对应不是一一对应。步骤:(1) 、按 (设置观察窗口) ,选 7。(2) 、按 (显示 Y=编辑器,用于定义运算表和绘图的函数) ,按(3) 、按 (见图三)(4) 、按(5) 、按 (沿 Y=1/2 或 Y=-1/2 两条直线左右光标,观察与正windowY=ENTER 2ENTER logGRAPHGRAPHnTx,ENTERZOOMY=nTx,ENTER sinGRAPHLog2 /1/2 , -1/2 (2nd2nd )GRAPHTRACEnTx,nTx,Y=图一图二弦函数图象的交点不止一个,所以不满足具有反函数的函数图象特征。 )
3、(见图四) 2在 D 中选一个子集 A,使得函数 y=sinx,xA 的值域任为-1,1,且是一一对应2、步骤:(在上面的图象基础上)(1) 、按 (显示 Y=编辑器,用于定义运算表和绘图的函数) ,选择,按 (在图象窗口上清除第二个函数图象)2Y(2) 、按 选择 1:ZBOX;寻找满足以上要求的图象窗口(见图五、六)(3) 、按 (左右移动光标查看得到的图象的值域是否-1,1,并且是否是一一对应。 (见图七)3、反正弦函数的定义,定义域,值域。4、观察 y=sinx,x与 y=arcsinx,x图象的对称性。 2,21 , 15、反正弦函数 y=arcsinx 的性质:单调性、奇偶性。步骤
4、:(1) 、按 (显示 Y=编辑器,用于定义运算表和绘图的函数) ,选择,按 1Y(2) 、按 (设置窗口的变量值)图三Y=ENTERZOOMTRACE2nd sinY=ENTERwindownTx,图四图五图六图七(3) 、按(4) 、按 (左右移动光标观察图象的趋势,及图象的对称性。6、得出恒等式:arcsin(-x)=-arcsinx,x1 , 1三、 反正弦函数的应用(略)上海市市二中学 徐慧上海市第四中学 周方课题课题 3 3 函数的对称性与周期之间的关系函数的对称性与周期之间的关系(本课题适合于高一数学选修课)机型:TI-92plus教学过程:(一)研究函数,)(xfy Dx如果
5、,为偶函数)2()2(xfxf)(xfy 那么函数的周期为多少?)(xfy 步骤一,研究具体模型,容易发现周期是 41、画出坐标轴(按 APPS 键进入到 geometry 状态。按 F8,9FORMAT,COORDINATE AXES,选择2RECTANGULAR)并确定单位长度(F1,3DILATE) 。2、画出对称轴(按 F2,4line 移动光标至(2,0),ENTER,ENTER) 。3、画出一段图形(按 F2,5SEGMENT,选中两点分别 ENTER 或 F3,2ARC,选中三点分别 ENTER) 。4、画出整个函数的图象(按 F5,4REFLECTION,移至 3 画好的图形
6、ENTER,移至对称轴 ENTER,重复操作)步骤二,严格论证(略)TRACEGRAPH(二)在此基础上,研究如果函数满足,为奇函数,)(xfy )2()2(xfxf)(xfy 是否为周期函数?并猜测周期是多少?)(xfy 步骤一,研究具体模型,容易发现周期是 81、画出坐标轴(按 F8,9FORMAT,COORDINATE AXES,选择 2RECTANGULAR)并确定单位长度(F1,3DILATE) 。2、画出对称轴(按 F2,4line 移动光标至(2,0),ENTER,ENTER) 。3、画出一段图形(按 F2,5SEGMENT,选中两点分别 ENTER 或 F3,2ARC,选中三点
7、分别 ENTER) 。4、画出整个函数的图象(按 F5,4REFLECTION,移至 3 画好的图形 ENTER,移至对称轴 ENTER,然后按 F5,5SYMMETRY,移至 3 画好的图形 ENTER,移至对称中心,ENTER。重复上述操作)重复操作)步骤二,严格论证(略)(三)推广并验证(1)若一个函数的图象有两条不同的对称轴,分别为 x=m,x=n,那么这个函数是周期函数。证:因为函数的对称轴为 x=m,x=n (mn)则 (1)()(xmfxmf(2)()(xnfxnf分别将 x=m-x,x=n-x 代入(1) (2),则有 )()2(xfxmf)()2(xfxnf)22()(2nx
8、mfnmxf=)2(xnf=)(xf所以是周期函数,周期为 2(m-n)。)(xfy (2)若一个函数的图象有一条对称轴 x=m 和一个对称中心(a,b),那么这个函数是周期函数。证:因为函数的图象关于 x=m 轴对称,并关于(a,b)中心对称,)(xfy 则有 (1)()(xmfxmf(2)bxafxaf2)()(分别将 x=m-x,x=n-x 代入(1)、(2)得bxfxafxfxmf2)()2(),()2()24(2)( 4xmamfamxf=)24(xmaf=)22(2axmaf所以是周期函数,周期为 4(m-a)。)(xfy (四)例题设是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=
9、1 对称,对任意,都有)(xf21, 0,21xx且。)().()(2121xfxfxxf0) 1 ( af(1)求)41()21(ff及(2)证明是周期函数)(xf(3)记)(lnlim),212(nnnannfa 求(五)小结本节课采用从特殊到一般的认识事物的一般方法。图形计算器的使用使作图迅速准确,是帮助我们猜想的有利武器,猜测为证明指明了方向,而证明使猜测得到严格论证。上海市七宝中学 肖 岚课题课题 4 4 对对 r=nsin(k)r=nsin(k)的初步研究的初步研究由于偶然的发现,加上一段时间的研究,我从 TI-83 图形计算器中发现了一种奇妙的函数:首先,在函数 r=nsin(k
10、)中 为应变量,即未知数,而 n、k 均是不为零的实数。其次,说一下 n 吧.。n 在此函数中是控制函数图象的。-n 与 n 所画出的图象的大小是相等的,且它们的图象关于原点对称。此函数所画出的图象是花瓣形的。而花瓣的多少由 k 来决定。当k=3 时,原函数的图象则会有 3片花瓣。而函数 r=nsin(k)与 r=nsin(k)的图象关于原点对称。当 k 不属于 Z 时原函数所画出的图象则不完整。当然每片花瓣间角度都是相等的,并且当 k 为奇数时,原函数关于 y 轴对称。如 r=nsin(3)、r=nsin(-3) 见图(1) 。当 k 为偶数时,原函数关于原点对称且画出的图象两者关于 y 轴
11、对称见图(2) 。图(1)a 图(2)a图(1)b 图(2)b 另外还有一种与之相似的函数:r=ncos(k) ,其条件与函数 r=nsin(k) 的条件相同。其图象同样也是花瓣状的。只是其图象均关于 x 轴 对称,其余的规律则与函数 r=nsin(k) 大同小异。由于时间有限,加上对原函数的了解不够及研究的面不广,因此我只能得到以上这些函数的规律及其图象。注:在画图前,应适当在 window 中调整窗口。如图(3):华理大附中高一(1) 洪福康指导教师:汪海峰评评:洪福康同学在业余时间通过 TI-83 图形计算器的操作,偶然发现了一种图形成花瓣状的函数,而且花瓣的瓣数跟变量的系数存在着一定的关系,随之他对系数设置了不同的取值,通过图形的观察,终于找到了其中的规律。其实他研究的这个函数,到目前为止并没有学过,正因为借助了 TI-83 图形计算器的作图功能,得以对这个陌生的函数作一些探讨,虽然研究出来的层次比较浅,但是在此过程中,学生初步学会了研究数学的一种方法,这是对传统学习方法的挑战。