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1、课题课题 2 2 反正弦函数反正弦函数 y=arcsinxy=arcsinx机型：TI-83plus教学内容：一、 复习反函数的有关概念结合已知学过的互为反函数：y=2x与 y=log2x 的图象来复习1、 用 TI-83 画出这两个函数的图象。步骤：（1） 、按 （设置观察窗口的变量值） 。 （见图一）（2） 、按 （显示 Y=编辑器，用于定义运算表和绘图的函数） ，按按（3） 、按 （4） 、按 （见图二）2、 从图形中观察互为反函数的图象具有关于直线 y=x 对称。3、 互为反函数的定义域与值域之间的关系。二、 讨论正弦函数中的 X 与 Y 的对应关系。1、用 TI-83 画出正弦函数的
2、图象，说明正弦函数的定义域 D 中的 X 与 Y 的对应不是一一对应。步骤：（1） 、按 （设置观察窗口） ，选 7。（2） 、按 （显示 Y=编辑器，用于定义运算表和绘图的函数） ，按（3） 、按 （见图三）（4） 、按（5） 、按 （沿 Y=1/2 或 Y=-1/2 两条直线左右光标，观察与正windowY=ENTER 2ENTER logGRAPHGRAPHnTx,ENTERZOOMY=nTx,ENTER sinGRAPHLog2 /1/2 ， -1/2 （2nd2nd ）GRAPHTRACEnTx,nTx,Y=图一图二弦函数图象的交点不止一个，所以不满足具有反函数的函数图象特征。 ）
3、（见图四） 2在 D 中选一个子集 A，使得函数 y=sinx，xA 的值域任为-1，1，且是一一对应2、步骤：（在上面的图象基础上）（1） 、按 （显示 Y=编辑器，用于定义运算表和绘图的函数） ，选择，按 （在图象窗口上清除第二个函数图象）2Y（2） 、按 选择 1：ZBOX；寻找满足以上要求的图象窗口（见图五、六）（3） 、按 （左右移动光标查看得到的图象的值域是否-1，1，并且是否是一一对应。 （见图七）3、反正弦函数的定义，定义域，值域。4、观察 y=sinx，x与 y=arcsinx，x图象的对称性。 2,21 , 15、反正弦函数 y=arcsinx 的性质：单调性、奇偶性。步骤
4、：（1） 、按 （显示 Y=编辑器，用于定义运算表和绘图的函数） ，选择，按 1Y（2） 、按 （设置窗口的变量值）图三Y=ENTERZOOMTRACE2nd sinY=ENTERwindownTx,图四图五图六图七（3） 、按（4） 、按 （左右移动光标观察图象的趋势，及图象的对称性。6、得出恒等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x1 , 1三、 反正弦函数的应用（略）上海市市二中学 徐慧上海市第四中学 周方课题课题 3 3 函数的对称性与周期之间的关系函数的对称性与周期之间的关系（本课题适合于高一数学选修课）机型：TI-92plus教学过程：（一）研究函数，)(xfy Dx如果
5、，为偶函数)2()2(xfxf)(xfy 那么函数的周期为多少？)(xfy 步骤一，研究具体模型，容易发现周期是 41、画出坐标轴（按 APPS 键进入到 geometry 状态。按 F8，9FORMAT，COORDINATE AXES，选择2RECTANGULAR）并确定单位长度（F1，3DILATE） 。2、画出对称轴（按 F2，4line 移动光标至(2,0)，ENTER，ENTER） 。3、画出一段图形（按 F2，5SEGMENT，选中两点分别 ENTER 或 F3，2ARC，选中三点分别 ENTER） 。4、画出整个函数的图象（按 F5，4REFLECTION，移至 3 画好的图形
6、ENTER，移至对称轴 ENTER，重复操作）步骤二，严格论证（略）TRACEGRAPH（二）在此基础上，研究如果函数满足，为奇函数，)(xfy )2()2(xfxf)(xfy 是否为周期函数？并猜测周期是多少？)(xfy 步骤一，研究具体模型，容易发现周期是 81、画出坐标轴（按 F8，9FORMAT，COORDINATE AXES，选择 2RECTANGULAR）并确定单位长度（F1，3DILATE） 。2、画出对称轴（按 F2，4line 移动光标至(2,0)，ENTER，ENTER） 。3、画出一段图形（按 F2，5SEGMENT，选中两点分别 ENTER 或 F3，2ARC，选中三点
7、分别 ENTER） 。4、画出整个函数的图象（按 F5，4REFLECTION，移至 3 画好的图形 ENTER，移至对称轴 ENTER，然后按 F5，5SYMMETRY，移至 3 画好的图形 ENTER，移至对称中心，ENTER。重复上述操作）重复操作）步骤二，严格论证（略）（三）推广并验证（1）若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为 x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。证：因为函数的对称轴为 x=m，x=n (mn)则 (1)()(xmfxmf(2)()(xnfxnf分别将 x=m-x，x=n-x 代入(1) (2)，则有 )()2(xfxmf)()2(xfxnf)22()(2nx
8、mfnmxf=)2(xnf=)(xf所以是周期函数，周期为 2(m-n)。)(xfy （2）若一个函数的图象有一条对称轴 x=m 和一个对称中心(a,b)，那么这个函数是周期函数。证：因为函数的图象关于 x=m 轴对称，并关于(a,b)中心对称，)(xfy 则有 (1)()(xmfxmf(2)bxafxaf2)()(分别将 x=m-x,x=n-x 代入(1)、(2)得bxfxafxfxmf2)()2(),()2()24(2)( 4xmamfamxf=)24(xmaf=)22(2axmaf所以是周期函数，周期为 4(m-a)。)(xfy （四）例题设是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=
9、1 对称，对任意，都有)(xf21, 0,21xx且。)().()(2121xfxfxxf0) 1 ( af（1）求)41()21(ff及（2）证明是周期函数)(xf（3）记)(lnlim),212(nnnannfa 求（五）小结本节课采用从特殊到一般的认识事物的一般方法。图形计算器的使用使作图迅速准确，是帮助我们猜想的有利武器，猜测为证明指明了方向，而证明使猜测得到严格论证。上海市七宝中学 肖 岚课题课题 4 4 对对 r=nsin(k)r=nsin(k)的初步研究的初步研究由于偶然的发现，加上一段时间的研究，我从 TI-83 图形计算器中发现了一种奇妙的函数：首先，在函数 r=nsin(k
10、)中 为应变量，即未知数，而 n、k 均是不为零的实数。其次，说一下 n 吧.。n 在此函数中是控制函数图象的。-n 与 n 所画出的图象的大小是相等的，且它们的图象关于原点对称。此函数所画出的图象是花瓣形的。而花瓣的多少由 k 来决定。当k=3 时，原函数的图象则会有 3片花瓣。而函数 r=nsin(k)与 r=nsin(k)的图象关于原点对称。当 k 不属于 Z 时原函数所画出的图象则不完整。当然每片花瓣间角度都是相等的，并且当 k 为奇数时，原函数关于 y 轴对称。如 r=nsin(3)、r=nsin(-3) 见图（1） 。当 k 为偶数时，原函数关于原点对称且画出的图象两者关于 y 轴
11、对称见图（2） 。图（1）a 图（2）a图（1）b 图（2）b 另外还有一种与之相似的函数：r=ncos(k) ，其条件与函数 r=nsin(k) 的条件相同。其图象同样也是花瓣状的。只是其图象均关于 x 轴 对称，其余的规律则与函数 r=nsin(k) 大同小异。由于时间有限，加上对原函数的了解不够及研究的面不广，因此我只能得到以上这些函数的规律及其图象。注：在画图前，应适当在 window 中调整窗口。如图（3）：华理大附中高一（1） 洪福康指导教师：汪海峰评评：洪福康同学在业余时间通过 TI-83 图形计算器的操作，偶然发现了一种图形成花瓣状的函数，而且花瓣的瓣数跟变量的系数存在着一定的关系，随之他对系数设置了不同的取值，通过图形的观察，终于找到了其中的规律。其实他研究的这个函数，到目前为止并没有学过，正因为借助了 TI-83 图形计算器的作图功能，得以对这个陌生的函数作一些探讨，虽然研究出来的层次比较浅，但是在此过程中，学生初步学会了研究数学的一种方法，这是对传统学习方法的挑战。
