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1、2 7 3科教论丛科技论文中有效数字的正确使用文 金晓琳 侯瑞 李海鸥（第三军医大学基础部免疫学杂志编辑部 重庆）科学研究是一件艰苦而又细致的工作，只有通过大量的科研 工作，形成一定的积累，才能在积累中有所发明、有所创造。在 进行基础研究的工作中，不论立题有多么新颖、多么必要、多么 迫切；研究方案有多么创新、科学；技术路线多么可行。其最终 的结果都是要用科学的语言：数据，来说明问题，解决问题。然 而，有了正确的分析方法和准确的实验操作，就一定能得到准确 的分析结果吗？答案却是否定的。要得到正确的分析结果，还要 有正确的记录和准确的计算。在记录和运算过程中都会涉及到有 效数字。 1 有效数字的定
2、义及相关概念 什么是有效数字呢？是指实际上能测量到的数字，在该数值 中，最后一位是不确定的，其它各数都是可靠的，即只有最后一 位是估计数字。它的实际意义在于有效数字能够反映出测量时的 准确度。那么，什么是准确度呢？准确度是指实验测定值与真实 值之间的符合程度1 ，常用误差的大小来衡量。误差又有绝对误 差和相对误差。绝对误差是指测定值与真实值之间的差值。相对 误差则表示误差在测定结果中所占的百分数，更能说明测定结果 的准确性。误差越小，表示实验结果与真实值越接近，测定的准 确度也就越高。误差有正负之分，正值代表比真实值高，负值代 表比真实值低。2 有效数字的修约 各测定值的有效数字位数确定之后就
3、要将它们后面多余的数 字舍弃，舍弃多余数字的过程称为数字修约3 。通常采用“四舍 六入五成双”的原则进行修约。当被修约的数小于或等于 4 时， 则舍去;大于或等于 6时则进位;等于 5且后面没有数字或有数字 “0”时，那么 5前面是偶数则舍去，是奇数则进位。例如，将 3. 1 6 , 1 . 3 4 9 , 1 . 3 5 ，2 . 4 5 , 1 . 8 5 1修成两位有效数字时，其结果分别 3 . 2 , 1 . 3 , 1 . 4 , 2 . 4 , 1 . 9 。数的修约口诀： 4 舍 6 入 5看右, 5 . 7 4 1 8 5 . 7 ；5 . 7 6 1 8 5 . 8 ; 5右
4、有数便进 1 ，5 . 7 5 0 8 5 . 8 ； 5右为 0看左方，左为奇数要进 1，左为偶数全舍去即奇 进偶不进。5 . 7 5 0 0 5 . 8 ；5 . 6 5 0 0 5 . 6 ；无论舍去多少位均 应一次修完毕：1 5 . 4 5 4 6 1 5 ；而不能修成 1 5 . 4 5 4 6 1 5 . 4 5 5 1 5 . 4 6 1 5 . 5 1 6 。 3 有效数字的运算规则 在进行加减运算时，有效数字取舍以小数点后位数最少的 数字为准。例如，0 . 0 2 3 1 , 2 4 . 5 7和 1 . 1 6 8 3 2三个数相加，数 值 24.57的小数点后位数最少，故
5、其它数字也应取小数点后两 位，其结果是: 0 . 0 2 + 2 4 . 5 7 + 1 . 1 7 = 2 5 . 7 6 。几个数相加或相 减时，和或差的小数点后位数应与参加运算的数字中小数点后位 数最少的数字相同。例如: 先计算 2 . 1 + 0 . 5 2 4 3 + 3 . 1 5 = 5 . 7 7 4 3 ，后修约，其结果为 5 . 8 ；先修约后计算 2 . 1 + 0 . 5 + 3 . 2 = 5 . 8上述参加运算的数字中，2.1的小数点后位数最少，只有一位， 因此这三个数字之和的小数点后位数也应为一位。在乘除的运 算中，应以有效数字位数最少的为准。例如，0 . 0 2
6、 3 1 , 2 4 . 5 7 和 1 . 1 6 8 3 2三个数相乘，0 . 0 2 3 1的有效数字位数最少，只有 三位，故其他数字也只取三位。运算的结果也保留三位有效数 字: 0 . 0 2 3 1 2 4 . 6 1 . 1 7 = 0 . 6 6 5 。几个数相乘或相除时，积 或商的有效数字的位数应与参加运算的数字中有效数字的位数最 少的数字相同。例如: 先计算后修约0 . 0 3 2 5 2 . 1 5 . 1 0 3 = 0 . 3 4 8 2 0 . 3 4 ；先修约后计算 0 . 0 3 2 2 . 1 5 . 1 = 0 . 3 4 2 7 0 . 3 4上述参加运算的
7、数字中，有效数字的位数最少的是 2 . 1 ，只 有两位有效数字，因此计算结果的有效数字的位数也应为两位。 4有效数字的确立规则 我们已经知道有效数字的概念了,即实际上能测量到的数值, 除最后一位是可疑数字，其余的均为可靠数字。在实际工作中如 何正确记录测量的数据呢? 例如，用最小刻度为 0 . 1 c m的直尺量 出某物体的长度为 1 1 . 2 3 c m ，显然这个数值的前三位是准确的， 而最后一位数是测试者估计出来的，这个物体的长度可能是 11. 2 4 c m ，也可能是 1 1 . 2 2 c m ，测量的结果有士 0 . 0 1 c m的误差。 把这个数值的前面三位可靠数字和最后
8、一位可疑数字均称为有效 数字。这个数值就是四位有效数字。 在确定有效数字位数时，特别要指出的是数字“0” ，不同位 置的“0”可能表达的意义不一样。数字“0”是否为有效数字取 决于它在整个数据中所处的位置，在小数点前面的“0”只起定 位作用，不是有效数字;数据中间和最后一位的“0”都是有效数 字。例如： 0 . 0 2 2 1 , 1 0 . 1和 1 . 1 0 都有三位有效数字； 3 . 2 , 0 . 3 2 , 0 . 0 3 2 , 0 . 0 0 3 2 均为两位有效位数；0 . 0 3 2 0 为三位有效位数； 1 2 . 4 9 0为五位有效位数； 1 0 . 0 0为四位有效
9、位数。又如，分析天 平称得的物体质量为 7 . 1 5 6 0 g ，滴定时滴定管读数为 2 0 . 0 5 m L ，这两个数字中的“0 ”都是有效数字。在 0 . 0 0 6 g中的“0 ” 只起到定位作用，不是有效数字。数值的有效位数应全部写出， 科学技术中的数据，通常要反映测量的精确度，因此，小数点右 侧数字后面的“0 ”是不允许随意增删的。在 1 0 0 g中的最后一 个“0”可能是有效数字，也可能只起到定位作用。整数末尾的 “0 ” , 其意义往往是不明确，如 1 . 1 0 0的最后两位的“0 ”究竟是 仅仅起定位作用还是同时也反映了测定精度，这是无法确的，它 的有效数字可能是四
10、位，也可能是三位或两位。为了避免混乱， 在记录时应根据精确度将结果写成 1 . 1 0 0 1 0 3 ( 四位有效数字) ， 1 . 1 0 1 0 3 ( 三位有效数字) 或 1 . 1 1 0 3 ( 两位有效数字) 。尾数有 多个“0”的整数和小数点后面有多个“0”的纯小数，可以改写 为“ 1 0 n ” ( n为正、负整数) 形式 , 这类改写在科技书刊中常用， 但在改写时必须注意，属于有校数字的“0”不能舍弃4。例如 : 3 5 0 0 0 ，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写为 3 5 0 1 0 2 ；若有三个无效零。则为两位有效位数，应写为 3 5 1 0 3 。例如：
11、“3 2 0 0 0 0 0 可以改写为“3 2 1 0 6 ”或“3 2 1 0 5等形式； 但当要求必须保留 3位有效数字时，则应改写为。3 . 2 0 1 0 6或 “3 2 0 1 0 4 ”等形式。 有效数字是测定结果的大小及精度的真实记录，因此测定结2 7 4科教论丛果应该用有效数字来表示。用有效数字表示的测定结果，除 最后一位数字是不甚确定外，其余各位数字必须是确定无疑 的。例如，万分之一的分析天平能称准至: 0 . 0 0 0 1 g ；托盘天平 能称准至 0 . 1 g 。若用分析天平和托盘天平分别称量 1 g物 质，则应分别记为 1 . 0 0 0 0 g和 1 . 0 g
12、 。数据 1 . 0 0 0 0除了最后 一位 0不甚确定外，其余四个数字都是确定无疑的;而数据 1. 0 中小数点后第一位数字“0，已不甚可靠，因此不能在其后 面加“0” 。可见，按有效数字的表示规则，既不能把分析天 平称量的质量 1 . 0 0 0 0 g记为 1 . 0 g ，也不能把托盘天平称量 的质量 1 . 0 g记为 1 . 0 0 0 0 g 。有效数字体现出实际的测定精度 及其所使用的测定工具。 在 记 录 、 计 算 实 验 数 值 的 时 候 ， 应 该 保 留 几 位 有 效 数 字？在滴定分析中常采用四位有效数字，建筑大桥允许误差 万分之四。有效数字保留少了，准确度低
13、；有效数字保留过 多，也没有意义，并不代表测量值的准确度就高。在撰写的 论文中作者经常不能正确表达有效数字的数据。例如：一组 有 3位有效数值的电流值“0 2 5 0 ，0 5 0 0 ，0 7 5 0 A ” ，经 常被写成“0 . 2 5 ，0 . 5 ，0 7 5 A 。又比如用同样的仪器测同 类物体的质量（kg） ，却用了不同的精确度，测得数据是 12. 3 4 ，1 0 . 1 5 ，9 . 2 ，1 4 ，7 . 3 6 3 ，8 ，1 0 , 这样的记录使数字显 示成 0 . 0 1，0.1,1不同的精确度。不少作者会把这些测定值 的总和写成 7 1 . 0 5 3 ，把均数算成
14、 7 1 . 0 5 3 / 7 1 0 . 1 5 0 4 , 有 的作者甚至把均数的值取到小数点后的第六位。有 的作者则 认为一般取小数点后二位数就可以了。甚至还有一部分作者 把 计 算 结 果 取 到 小 数 点 后 的 第 几 位 仅 取 决 于 当 时 一 闪 之 念 。 当 然 ，这种做法都是毫无根据的。有效数字应该是巳知的正 确 数 字 。 怎 么 确 定 有 效 数 字 ？ 首 先 按 有 效 数 字 加 法 计 算 规 则：有效数字取舍以小数点后位数最少的数字为准。在 这 组 数据中 9.2为小数点后位数最少的数值，有效数字为两位。修 约后计算 1 2 . 3 1 0 . 2
15、 9 . 2 1 4 7 . 4 8 1 0 7 1 . 1修 约为 7 1 ，7 1 7 = 1 0 . 1 4修约为 1 0 。在这个例子中实际上 只有整数中的二位数字(即小数点前的二位数字)是巳知的正确 数 字 ，所以只有两位有效数字。只能确信只有在小数点前的 两位数是可靠的。其中的末位数 1(即个位 1 )也已不精确了， 因为它取决于那些小数点位后的不确定数，但可以认为它已 具有相当准确性，值得保留了。因此此组数据的均数为 10。 结论： 任 何 一 组 测 定 值 的 均 数 ，其 有 效 数 字 的 位 数 和 它 的 总 和 的有效数字的位数应一致5。在统计计算中，算术平均值、
16、标准偏差是使用频率很高的 2 个统计量，它们的有效数字位 数应按统计计算的有关规则确定。无论是标准偏差 s，还是 平均值标准差,它们的有效数字的位数均不应超过 2位。这是 由小样本测量计算出的统计平均量的统计特征所决定的。当 测量次数少( n 1 0 ) ，可仅取 1位有效数字。只有 n 5 0 0 0时， s才可取 3位有效数字。而 n 5 0 0 0的情况是极其罕见的。 统计计算量多余数字的舍入规则为“只入不舍”如此舍入 的结果，使得准确度的估计值通常变得更差一些。这一点与 前面提到的多余数字的常规舍弃原则有所不同6。 正确运用有效数字，不但能够反映出计算结果的可信度，而 且能大大简化计算过程。真实、准确、简明、易懂，格式清晰地 表达我们的科学实验，是每一个科研工作应尽的职责。下面是笔 者从
