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1、 1 / 45概率论与数理统计各周作业解习题一2. 设是三个事件，用的运算关系表示下列事件:CBA,CBA,(1) 发生，与不发生；ABC(2) 都发生，而C不发生；CBA,(3) 中至少有一个发生；CBA,(4) 都发生；CBA,(5) 都不发生；CBA,(6) 中不多于一个发生;CBA,(7) 中不多于两个发生;CBA,(8) 中至少有两个发生.CBA,解: (1) 发生，与不发生表为: ABCCBA(2) 都发生，而C不发生表为:CBA,CAB(3) 中至少有一个发生表为:CBA,CBAUU(4) 都发生表为: CBA,ABC(5) 都不发生表为: CBA,CBA(6) 中不多于一个发生
2、表为: CBA,CBACBACBACBAUUU或 BACACBUU(7) 中不多于两个发生表为:或CBA,ABCCBAUU(8) 中至少有两个发生表为:CBA,BCACABUU3. 设是三事件，且CBA,41)()()(CPBPAP, 0)()(BCPABP求至少有一个发生的概率；,81)(ACPCBA, 已知,21)(AP,31)(BP,51)(CP,101)(ABP,151)(ACP求的概,201)(BCP,301)(ABCP,BAU,BA,CBAUU,CBA,CBA,CBAU2 / 45率；已知(i)若互不相容，求(ii)若求,21)(APBA,),( BAP,81)(ABP),( BA
3、P解： )()()()(CPBPAPCBAPUU)()()()(ABCPACPBCPABP因为,ABABC , 0)()(0APABCP所以, 0)(ABCP所以至少一个发生的概率为CBA,850810041 41 41)(CBAPUU )()()()(ABPBPAPBAPU,1511 101 31 21)(1)()(BAPBAPBAPUU,154 15111)()()()(CPBPAPCBAPUU)()()()(ABCPACPBCPABP,2017 301 201 151 101 51 31 21)(1)()(CBAPCBAPCBAPUUUU,203 20171)()(CBAPCBAP)()
4、(CBAPBAP607 203 154或 )()(BACPCBAPU)()(BACPCPU)()(BCACPCPU)()()()(ABCPBCPACPCP,607 301 201 151 51)()()()(CBAPCPBAPCBAPU,207 607 51 154),()()(ABPAPBAP3 / 45(i)若互不相容，则，BA,AB,21021)(BAP(ii)若 则,81)(ABP.83 81 21)(BAP9. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 解：设A=“至少有两只配成一双” ，则所求概率为：211321)(1)(4 1044
5、5CCAPAP11.将 3 个球随机的放入四个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3的概率.解: 设=“杯子中球的最大个数为” ，则所求概率分别为kAk,83 4)(33 4 1AAP,169 4)(31 31 42 3 2CCCAP,161 4)(31 4 3CAP14.(1) 已知求., 5 . 0)(, 4 . 0)(, 3 . 0)(BAPBPAP)(BABPU(2)已知求,21)(,31)(,41)(BAPABPAP)(BAPU解：(1), 7 . 03 . 01)(1)(APAP6 . 04 . 01)(1)(BPBP)()()(BAAPABPBABPU2 . 05 . 0
6、7 . 0)()(BAPAP)()()()(BAPBPAPBAPU8 . 05 . 06 . 07 . 041 8 . 0 2 . 0)()()(BAPBABPBABPUUU4 / 45(2) 已知,21)(,31)(,41)(BAPABPAP,121 31 41)()()(ABPAPABP,61 21 121 )()()(BAPABPBP)()()()(ABPBPAPBAPU.31 121 61 41（注：红色题目是 08 级的作业，下同）15. 掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率(分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义计算).解: 记=“有一颗为 1
7、点”,=“点数之和为 7” ，AB(1)用条件概率的定义计算,所求概率为：316662)()()(22BPABPBAP(2)用条件概率的含义计算,所求概率为：)(BAP31 6216. 据以往资料表明,某一 3 口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病=0.6, P母亲得病孩子得病=0.5,P父亲得病母亲及孩子得病=0.5,求母亲及孩子得病但父亲不得病的概率.解: 记=“孩子得病”, =“母亲得病”,=“父亲得病”,则所求概率ABC为)()()()(BCCPABPAPCABP)(1)()(BCCPABPAP.18. 0)4 . 01 (5 . 06 . 023将两信息分别编码为 A 和
8、 B 后传送出去，接收站接收时，A 被误收为5 / 45B 的概率为 0.02，B 被误收为 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度之比为 2:1，若接收站收到的信息是 A，问原发信息也是 A 的概率是多少？解：记=“收到信息 A” ， =“发送信息 A” ，则 AB,98. 002. 01)(1)(BAPBAP,01. 0)(BAP,32)(BP,31)(BP依贝叶斯公式，所求概率为197196 )()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP24.有两箱同种类的零件,第一箱装 50 只,其中 10 只一等品, 第二箱装30 只,其中 18 只一等品,今
9、从两箱中任选一箱,然后从该箱中无放回地取零件两次,每次取一件,求(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2) 第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的零件也是一等品的概率？解：设=“第次取到一等品” ，kAk=“从第箱中取零件” ，kBk, 2 , 1k(1)依全概率公式, 第一次取到的零件是一等品的概率是)()()()()(2121111BAPBPBAPBPAP4 . 03018 21 5010 21(2)依全概率公式,)()()()()(2212121121BAAPBPBAAPBPAAP1421276 29301718 21 4950910 21所求概率为48557. 0)()()(
10、121 12APAAPAAP36. 三人独立的去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率。6 / 45解：用分别表示各人能译出的事件，即CBA,则所求概率为,41)(,31)(,51)(CPBPAP)(1)(CBAPCBAPUU)()()(1CPBPAP)(1)(1)(1 1CPBPAP.53411311511 137. 设第一只盒子中装有 3 只蓝球,2 只绿球 2 只白球; 设第二只盒子中装有 2 只蓝球,3 只绿球 4 只白球,独立地分别在两只盒子中各取一球,(1)求至少有一只蓝球的概率;(2)求有一只蓝球一只白球的概率;(3
11、)已知至少有一只蓝球, 求有一只蓝球一只白球的概率.解: 设=“在第盒取到一只蓝球” ，kAk=“在第盒取到一只白球” ，kBk, 2 , 1k(1) 至少有一只蓝球的概率为)()()()()(212121APAPAPAPAAPU95 92 73 92 73(2) 有一只蓝球一只白球的概率为)()()()()(12211221BPAPBPAPBABAPU6316 72 92 94 73(3) 至少有一只蓝球条件下, 有一只蓝球一只白球的概率为)(211221AABABAPUU3516 )()(211221AAPBABAP UU补充补充 1. 已知已知与与相互独立，相互独立，求求及及AB, 4
12、. 0)(, 6 . 0)( BPAP)(BAPU .)(BAP 解解 )()()()(ABPBPAPBAP U)()()()(BPAPBPAP 76. 04 . 06 . 04 . 06 . 0 )()()()()()(BPAPAPABPAPBAP 36. 04 . 06 . 06 . 0 7 / 45习题二4进行重复独立试验，设每次成功的概率为， 失败的概率为p,1pq),10( p(1) 将试验进行到出现一次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布XX律；(2) 将试验进行到出现 次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布律；rYY(3) 一篮球运动员的投篮命中率为 45%，以表示他首次
13、投中时累计投篮的次X数，求的分布律，并计算取偶数的概率。XX解：(1) 的分布律为X., 2 , 1 1LkpqkXPk(2) 的分布律为Y., 1, 1 1L rrkpqCkYPrrkr k(3) 的分布律为X., 2 , 1 45. 055. 01LkkXPk取偶数的概率为X45. 055. 0121kkXP偶数3111 55. 0145. 055. 026. 一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻(1) 恰有 2 个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 设在同一时刻有个设备被使用,则.
14、XX) 1 . 0 , 5(B(1) 恰有 2 个设备被使用的概率是0729. 0)9 . 0() 1 . 0(2322 5CXP(2) 至少有 3 个设备被使用的概率是 3XPkkkkC5535)9 . 0() 1 . 0(00856. 08 / 4512.一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4 的泊松分布,求(1)某一分钟恰有 8 次呼唤的概率;(2) 某一分钟呼唤次数大于 3 的概率.解：某一分钟呼唤次数,X)4(P(1) 某一分钟恰有 8 次呼唤的概率为0298. 0! 84848 eXP(2) 某一分钟呼唤次数大于 3 的概率为313XPXP5665. 0!41430ekkk17（2）求第 2(1)题中的随机变量的分布函数。解: 第 2(1)题中随机变量的分布律为XX345p0.10.30.6随机变量的分布函数为X , 5, 1, 544 . 0, 431 . 0, 3, 0)(xxxxxF18.在区间上任意投掷一个质点,以表示这个质点的坐标,设这个质, 0aX点落在0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求的分X布函数.解:当时,0x. 0 xXP当时,ax 0,kxxXP,1, 1akkaaXPaxxXP 当时,ax . 1 xXP故的分布函数为X9 / 45 . , 1
