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1、课时考点课时考点 19 统计统计-随机变量的分布列和期望随机变量的分布列和期望高考考纲透析：高考考纲透析： 等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概 率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：高考风向标： 离散型随机变量的分布列、期望和方差 热点题型热点题型 1 n 次独立重复试验的分布列和期望次独立重复试验的分布列和期望 样题 1 (2005 年高考全国卷 II理 19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的
2、局数,求的概率分布和数学期望.（精确到 0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 10.60.4比赛 3 局结束有两种情况：甲队胜 3 局或乙队胜 3 局，因而 P（3）330.60.40.28比赛 4 局结束有两种情况：前 3 局中甲队胜 2 局，第 4 局甲队胜；或前 3 局中乙队胜 2 局， 第 4 局乙队胜。因而P（4）22 30.60.4 0.6C 22 30.40.6 0.40.3744C 比赛 5 局结束有两种情况：前 4 局中甲队胜 2 局、乙队胜 2 局，第 5
3、局甲胜或乙胜。因而P（5）222 40.60.40.6C 222 40.40.60.40.3456C 所以的概率分布为345P0.280.37440.3456的期望3P（3）4P（4）5P（5）4.0656E变式新题型 1.(2005 年高考浙江卷理 19)袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31() 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次，求恰好有 3 次摸到红球的概率() 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止 (i)求恰好摸 5 次停止的概率；(ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E解：()
4、 33 3 512140 333243C()（i）22 2 41218 33381C(ii)随机变量的取值为 0，1，2，3， ；由 n 次独立重复试验概率公式，得 1n kkk nnP kC pp；5 0 5132013243PC4 1 511801133243PC23 2 511802133243PC（或）32 3 511173133243PC3280 21731243243P 随机变量的分布列是0123P32 24380 24380 24317 243的数学期望是奎屯王新敞新疆 32808017131012324324324324381E 热点题型热点题型 2 随机变量随机变量的取值范围
5、及分布列的取值范围及分布列样题 2在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖 品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券 中任抽 2 张，求：（）该顾客中奖的概率；（）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望.E解法一：（），即该顾客中奖的概率为.32 451512 102 6CCIP32（）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2 101 31 12 101 61 1 2 102 32 101 61 3 2
6、102 6CCCPCCCPCCPCCCPCCP且故有分布列：从而期望.161516015250151205210310E解法二：（）,32 4530)(2 102 41 61 4CCCCP（）的分布列求法同解法一由于 10 张券总价值为 80 元，即每张的平均奖品价值为 8 元，从而抽 2 张的平均奖品价值=28=16（元）. E变式新题型 2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为 0奎屯王新敞新疆 2，若一周 5 个工作日内无故障，可获利润 10 万元；仅有一个工作日发生故障可获利润 5 万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损 2 万元奎屯王
7、新敞新疆 求：（）一周 5 个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字） ；（）一周 5 个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以表示一周 5 个工作日内机器发生故障的天数，则B（5，0奎屯王新敞新疆 2）奎屯王新敞新疆 ).5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(8 . 02 . 0)(5 5kCkPkkk（）.21. 08 . 02 . 0)2(322 5CP（）以表示利润，则的所有可能取值为 10，5，0，2奎屯王新敞新疆 .328. 08 . 0)0()10(5PP.410. 08 . 02 . 0) 1()5(411 5CPP.205. 08 . 02 . 0
8、)2()0(322 5CPP.057. 0)2() 1()0(1)3()2(PPPPP的概率分布为010205060P 31 52 151 152 15110502P0奎屯王新敞新疆 3280奎屯王新敞新疆 4100奎屯王新敞新疆 2050奎屯王新敞新疆 057利润的期望=100奎屯王新敞新疆 328+50奎屯王新敞新疆 410+00奎屯王新敞新疆 20520奎屯王新敞新疆 0575奎屯王新敞新疆 2（万元）奎屯王新敞新疆 样题 3 (2005 年高考江西卷理 19) A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上 时 A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A
9、一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望 E.解：（1）设正面出现的次数为 m，反面出现的次数为 n，则，可得： 915|nmnm. 9 , 7 , 5:; 9,7, 22, 7; 7,6, 11, 6; 5,5, 00, 5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当nmnmnmnmnmnm（2）;645)21(2)7(;161 322)21(2)5(71 55CPP.32275 6455964571615;6455 645 1611)9(EP变式新题型 3.某射手进行射击练习，每射击 5 发
10、子弹算一组，一旦命中就停止射击， 并进行下一组练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习若该射手在某组练习 中射击命中一次，并且他射击一次命中率为 08， （1）求在这一组练习中耗用子弹的 分布列 （2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了 4 发子弹的概率。 分析：该组练习耗用的子弹数为随机变量，可取值为 1，2，3，4，51，表 示第一发击中(练习停止)，故 P(1)08 2，表示第一发未中，第二发命中，故 P(2)(108) 080163，表示第一、二发未中，第三发命中，故 P(3)(108)2080032 以下类推解：（1）的分布列为12345P0801600320006400016补充备例：有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打 开用它们去试开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数 的数学期望和方差分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k次打开不过， 一般我们应从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般解： 的可能取值为 1，2，3，n；所以 的分布列为：1 2 kn ；说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在， 进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项， 转化成熟悉的公式，是解决的关键
