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1、均值不等式归纳总结均值不等式归纳总结1.1. (1)(1)若若Rba,，则，则abba222(2)(2)若若Rba,，则，则 222baab（当且仅当（当且仅当ba 时取时取“=”“=”）2.2. (1)(1)若若*,Rba，则，则abba 2(2)(2)若若*,Rba，则，则abba2（当且仅当（当且仅当ba 时取时取“=”“=”）(3)(3)若若*,Rba，则，则22baab ( (当且仅当当且仅当ba 时取时取“=”“=”）3.3.若若0x ，则，则12xx ( (当且仅当当且仅当1x 时取时取“=”“=”）若若0x ，则，则12xx ( (当且仅当当且仅当1x 时取时取“=”“=”）若
2、若0x ，则，则11122-2xxxxxx即或( (当且仅当当且仅当ba 时取时取“=”“=”）4.4.若若0ab，则，则2ab ba( (当且仅当当且仅当ba 时取时取“=”“=”）若若0ab ，则，则22-2ababab bababa即或 ( (当且仅当当且仅当ba 时取时取“=”“=”）5.5.若若Rba,，则，则 2)2(22 2baba（当且仅当（当且仅当ba 时取时取“=”“=”）ps.(1)ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓和为定植时，可以求
3、它们的积的最小值，正所谓“ “积定和最小，和定积积定和最小，和定积最大最大” ”(2)(2)求最值的条件求最值的条件“ “一正，二定，三取等一正，二定，三取等” ”(3)(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例例 1 1：求下列函数的值域：求下列函数的值域（1 1）y y3 3x x 2 2 （2 2）y yx x12x 21x解：解：(1)y(1)y3x3x 2 222 值域为值域为 ，+）12x 266(2)(2)当当 x
4、x0 0 时，时，y yx x 222 2；1x当当 x x0 0 时，时， y yx x = = （ x x ） 2 2= =2 21x1x 值域为（值域为（ ，2222，+）解题技巧解题技巧技巧一：凑项技巧一：凑项例例 已知已知5 4x ，求函数，求函数14245yxx的最大值。的最大值。解：因解：因450x，所以首先要，所以首先要“ “调整调整” ”符号，又符号，又1(42)45xxg不是常数，所不是常数，所以对以对42x要进行拆、凑项，要进行拆、凑项，5,5404xx Q，11425434554yxxxx 231 当且仅当当且仅当15454xx，即，即1x 时，上式等号成立，故当时，上
5、式等号成立，故当1x 时，时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例例 1.1. 当当时，求时，求(82 )yxx的最大值。的最大值。解析：由解析：由知，知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82 )8xx为定为定值，故只需将值，故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可。凑上一个系数即可。当当，即，即 x x2 2 时
6、取等号时取等号 当当 x x2 2 时，时，(82 )yxx的最大值为的最大值为 8 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。可利用均值不等式求最大值。变式：设变式：设230 x，求函数，求函数)23(4xxy的最大值。的最大值。解：解： 230 x 023 x 29 22322)23(22)23(42 xxxxxxy当且仅当当且仅当,232xx即即 23, 043x时等号成立。时等号成立。技巧三：技巧三： 分离分离例例 3.3. 求求2710(1)1xxyxx 的值域
7、。的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x x1 1）的）的项，再将其分离。项，再将其分离。当当, ,即即时时, ,421)591yxx（当且仅当（当且仅当 x x1 1 时取时取“ “” ”号）。号）。技巧四：换元技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=xt=x1 1，化简原式在分，化简原式在分离求最值。离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt ）当当, ,即即 t=t=时时, ,4259ytt（当（当 t=
8、2t=2 即即 x x1 1 时取时取“ “” ”号）。号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为式子分开再利用不等式求最值。即化为( )(0,0)( )Aymg xB ABg x，g(x)g(x)恒正恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数( )af xxx的单调性。的单调性。例：求函数例：
9、求函数2254xy x 的值域。的值域。解：令解：令24(2)xt t，则，则2254xy x 22114(2) 4xtttx 因因10,1ttt，但，但1tt解得解得1t 不在区间不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。，故等号不成立，考虑单调性。因为因为1ytt 在区间在区间1,单调递增，所以在其子区间单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故为单调递增函数，故5 2y 。所以，所求函数的值域为所以，所求函数的值域为5,2。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x x 的值的值. .（1 1）231,(0)xxyxx （2 2）12,33y
10、xxx(3)(3)12sin,(0, )sinyxxx2 2已知已知01x，求函数，求函数(1)yxx的最大值的最大值. .；3 3203x，求函数，求函数(2 3 )yxx的最大值的最大值. .条件求最值条件求最值1.1.若实数满足若实数满足2ba，则，则ba33 的最小值是的最小值是 . .分析：分析：“ “和和” ”到到“ “积积” ”是一个缩小的过程，而且是一个缩小的过程，而且ba33 定值，因此考虑利用均值定定值，因此考虑利用均值定理求最小值，理求最小值，解：解： ba33 和都是正数，都是正数，ba33 632332baba当当ba33 时等号成立，由时等号成立，由2ba及及ba3
11、3 得得1 ba即当即当1 ba时，时，ba33 的最小值是的最小值是 6 6变式：若变式：若44loglog2xy，求，求11 xy的最小值的最小值. .并求并求 x,yx,y 的值的值技巧六：整体代换技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2 2：已知：已知0,0xy，且，且191xy，求，求xy的最小值。的最小值。错解：错解：Q0,0xy，且，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故故 min12xy 。错因：解法中两次连用均值不等式，在错因：解法中两次连用均值不等式
12、，在2xyxy等号成立条件是等号成立条件是xy，在，在1992xyxy等号成立条件是等号成立条件是19 xy即即9yx, ,取等号的条件的不一致，产生错误。因取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。且是检验转换是否有误的一种方法。正解：正解：190,0,1xyxyQ，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当当且仅当9yx xy时，上式等号成立，又时，上式等号成立，又191xy，可得，可得4,12xy时，时，min16xy
13、。变式：变式： （1 1）若）若Ryx,且且12 yx，求，求 yx11的最小值的最小值(2)(2)已知已知Ryxba,且且1yb xa，求，求yx 的最小值的最小值技巧七技巧七已知已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 21 1，求，求x x的最大值的最大值. .y 221y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abab 。a 2b 22同时还应化简同时还应化简中中y y2 2前面的系数为前面的系数为 ， x xx x x x 1y 2121y 22下面将下面将x x，分别看成两个因式：分别看成两个因式：x x 即即x
14、x x x 341y 2234 2技巧八：技巧八：已知已知a a，b b为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y的最小值的最小值. .1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。等式的途径进行。法一：法一：a a， abab b b302bb1302bb12 b 230bb1由由a a0 0 得，得，0 0b b1515
