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1、1特殊数列表达式及其算符初步定义摘 要：数列 1,2,3,4,5,6,7,8,9=191+2+3+4+5+6+7+8+9=1+9 987654321=91 1248163264128=1128 1,3,6,10,15,21,28,36=1， （1+2） ， （1+2+3） ， （1+2+3+4）,(1+2+3+4+5)， （1+2+3+4+5+6） ， （1+2+3+4+5+6+7） ， （1+2+3+4+5+6+7+8）=1+181+3+6+10+15+21+28+36=1+1+8=1(0,r0,r1,r,nsr,且已知 n=sr(N-1),时，s+n=n+(ns-r)(r-1)s+s (6
2、)s-n=-n+(nsr-r)(r-1)sr+sr+s (7)sn=sNr1+(N-1) (8)sn=s(sr)n=ss(N-1)r1+(N-1) (9)sn=s(sr)n (10)当 r=2 时， s+n=2n-s (11)当 s=r，且 r0，r1 时， s+n=n+(n-s)/(r-1) (12)2.2.3 sn 当 s1,0，r2 整数，已知项数为 N 时,n=sr(N-1)5sn=sr+(N+1)+1 (13)sn=s(sr)n (14)sn=s(sr)n (15)sn 和 sn=sn 可以理解成如下等式： sn=sn sn=sn2.2.4 sN=sN （s0）常数数列求值公式：常数
3、数列表达法： 当 r=0 对于 sN 或 sN 中的每一项的数值都相同，N 不能是末项，此时，N 应定义 为项数. 当|r|=1 对于 sN 或 sN 中的每一项的数值的绝对值都相同，所以，N 定义为项数,这 也是常数数列使用跨符的唯一表达方式.s+N=s+N=sN (16)sN=sN=sN (17)sN=sN=ss(N-1) (18)跨符对外围算符及数值的互相捆绑运算(简称：绑算)法则 3跨符交换律 3.1.捆绑运算也就是跨符交换律如：a+s+n+b 中的 a+和+b 被捆绑在 s+n 数列上不能独立运算，即是不能先计算 a+s、n+b，而是先算出 sn 数列，其中+n 的+是累算符号，由于
4、 s+n 两边与加号捆绑，所以， 需要把 a 和 b 分别加到 sn 数列中的每一个数使之形成新的数列，再进行 集体累加运算，因此，累算还可以称为集算（集体运算方式）.由该定义，可 知 a+s+n+b 式中，a 和 b 实际上是两个与 sn 数列拥有相等项数的常 数数列，即绑算要求互绑的两组或多组数列的项数相等.如： a+s+n+ba(n-s)/r+1+s+n+b(n-s)/r+1 a+s+n+b=(a+s+b)+(a+n+b) 并由此可知：常数数列 a(n-s)/r+1和 b(n-s)/r+1在与等差 数列 s+n 重新组合成新的数列后，这 3 个数列共同使用 s+n 数列算式6中的累算符号
5、，并把这种共同使用一个累算符号的算式称为共累算式. 也就是在数列算式中常数数列 a(n-s)/r+1和 b(n-s)/r+1可 以简写成 a 和 b，但要保留在共累算式中的一个跨符.如式中 a(n-s)/r+1和 s+n 以及 b(n-s)/r+1共同使用一个累算符号，除了 sn 数列不 是常数数列，另外两个数列为常数数列简写成 a 和 b，并在 s+n 数列算式 中标明加法累算，使算式以全部数值相加为最终目的.跨符算式等效式： s+n+a=a+s+n=(s+a)+(n+a)s+nb=bs+n=(bs)+(bn)a+s+nb=(sb+a)+(nb+a)s+n+sn=(s+s)+(n+n)a+(
6、s+n)b=a+(n-s)/r+1(n+s)/2bs+na=(s/a)+(n/a)as+nb(a/sb)+(a/nb)若 asn 中 a 是数列 sn 的公共因数，必须同时是 s,r,n 的因子数 as, ar,s 是 a 的倍数，则 asn=1(s/a)(n/a)例如 3.1.1： 数列 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 可以表达成如下：1 4 9 16 25 36 49 64 81 10012 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100=12,22,32,42,52,62,72,82,92,102 =
7、1102例如 3.1.2： 数列 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/n=11+n例如 3.1.3： 2n3(n+1)=2/3,3/4,4/5,5/6,n/(n+1)半约束括号的应用 3.27一般的括号有“( 小 )、 中 、 大 ”他们在跨符运算中起到完全约 束的作用，这样在应用跨符进行计算时，要使算式既能区分先后和主次，又不 阻碍跨符对外围算符进行捆绑运算，就要有 1 种符合上述需求的括号.在本文 使用括号 “加小 、 小 、 大 、加大”. 用来区分跨符对外围算符（运算资源）进行捆绑运算的先后或主次的符号： “ 、 、 、 ”这几组括号称为半约束括号.半约束括号 只有和跨符在一起使用
8、才起作用，他单独用在一般算符中起不到任何作用.而 把一般的括号“( )、 、 ”称为全约束括号.全约束括号可以终止 括号内的跨符对括号外算符的捆绑权，及括号外的跨符对括号内算符的捆绑权.半 约束括号是规范跨符绑算的次序.一般在书写中只需用 1 组半约束括号时,使用 小半约束括号“ ”. 对于 a+s+nb 式中如果想要 a+s 和 nb 先计算相加再让跨符起作用， 则要这样表达：(a+s)+(nb)；如果想要 a+先与 s+n 跨运算，则要用 到半约束括号：a+s+nb；否则，a+s+nb 算式的绑算先后次序 与四则运算法则相同，即，先乘除后加减. 规定：“ ”内的累算符号为主累算，“ ”内的
9、累算符号为次 累算，“ ”内的累算符号为再次累算等等依次类推.并且在同一个括号内 或无括号的共累算式中只能有 1 个、1 种累算符.其绑算次序由主累算式向次累 算式依次展开，而累算求值方法则是由次向主，且越次越优先计算(如：例 3.2.1 所示).绑算与累算的主要区别于：绑算是以跨符算式外围的计算符号，而累算 是跨符算式自带的计算符号. 例 3.2.12+210=2(10- 2)/2+1+210=2(2+4)(2+4+6)(2+4+6+8)(2+4+6+8+10)组合数与累加数 4表 4-1 组合数与自然数 x 次累加数结合分析表abcdefghij数列 1nn 个元素X 次累加(m)个一组（
10、X=m-1）12345678910A 12345678910B 13610152128364555 C 141020355684120165220 D 15153570126210330495715 E16215612625246279212872002 F 172884210462924171630035005 G 183612033079217163432643511440 H 19451654951287300364351287024310 I 1105522071520025005114402431048620 J11166286100130038008194484375892378
11、K11278364136543681237631824755821679608组合数 4.1 组合数公式： 假设总共有 n 个元素,m 为每次从 n 个元素中抽取 m 个元素进行组合，组合 数就是从 n 个元素总数中每次抽取 m 个元素进行组合总共有 C 种抽取方式.组合数 C=n(n-m+1)/(1m) (mn) (19)组合公式推导过程：选用 6 个元素来分析，即，设 n6，m 为从 6个元素中分别抽取 1 到 6 个元素进行 组合的元素个数，并按顺序排列后比对分析可得到如下数据： 每组每次抽取 m 个 1 2 3 4 5 6 与表 41 对应方格内的数 Af Be Cd Dc Eb Fa
12、共有C 种组合方式(组合数) 6 15 20 15 6 1相邻项之间的关系(跨项) 6/1 5/2 4/3 3/4 2/5 1/6由此得： m 个一组 组合数(1) 6=6/1 (2) 15=(65)/(12)=(65)/(12) (3) 20=(654)/(123)=(64)/(13) (4) 15=(6543)/(1234)=(63)/(14) (5) 6=(65432)/(12345)=(62)/(15) (6) 1=(654321)/(123456)=(61)/(16) 即，从 6 个元素中抽取 3 个元素进行组合共有(64)/(13)=20 种组合方法,若 从 6 个元素中抽取 5
13、个元素进行组合共有(62)/(15)=6 种组合方法.并由从 6 个元素中抽取 2 至 6 个元素进行组合的跨符表达式，推导出从 6 个元素中抽取 1 个元素进 行组合共有 6=6/1=(66)/(11)种方法，即，66=6,11=1,并以此 为推理得出： 当 s=n 时,sn=ss=s, ss=s自然数 x 次累加数 4.2 自然数 x 次累加求值公式：1(+x)n=(n+x)n/1(x+1) (x0 整数) (20)1n 自然数 x 次累加分析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （+1）1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 （+2）1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 （+3）1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 （+4）1 6 21 56
